Resolva as seguintes equações trigonométricas no intervalo [0,2 \pi] :
\cos \left(\frac{\pi}{3}-x\right)=0

Passo 1

O enunciado nos pede resolver a equação trigonométrica
\cos\bigl(\tfrac{\pi}{3}-x\bigr)=0
no intervalo [0,2\pi]. Vamos usar o fato de que \cos\theta=0
se e somente se \theta=\tfrac{\pi}{2}+k\pi, com k\in\mathbb{Z}.

Passo 2

Defina \theta=\tfrac{\pi}{3}-x. A condição \cos\theta=0 vira
\tfrac{\pi}{3}-x = \tfrac{\pi}{2}+k\pi.

Passo 3

Isolando x, obtemos
x = \tfrac{\pi}{3} - \Bigl(\tfrac{\pi}{2}+k\pi\Bigr) = \tfrac{\pi}{3}-\tfrac{\pi}{2} - k\pi = -\tfrac{\pi}{6} - k\pi.

Passo 4

Agora precisamos dos valores de x em [0,2\pi]. Testando valores inteiros de k:
Para k=0 x=-\tfrac{\pi}{6}, que está fora do intervalo.
Para k=-1
x = -\tfrac{\pi}{6} + \pi = \tfrac{5\pi}{6},
que pertence a [0,2\pi].
Para k=-2
x = -\tfrac{\pi}{6} + 2\pi = \tfrac{11\pi}{6},
que também está em [0,2\pi]. Outros valores de k repetem essas soluções ou geram valores fora do intervalo.

Passo 5

Portanto, as soluções de \cos\bigl(\tfrac{\pi}{3}-x\bigr)=0 em [0,2\pi] são
x = \tfrac{5\pi}{6} \quad\text{e}\quad x = \tfrac{11\pi}{6}.

Resposta

x = \tfrac{5\pi}{6} ou x = \tfrac{11\pi}{6}

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