Resolva as seguintes equações trigonométricas no intervalo [0,2 \pi] :
\cos x=\frac{\sqrt{3}}{2}

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação \cos x = \frac{\sqrt{3}}{2} no intervalo [0,2\pi]. Esse problema envolve trigonometria e o uso da ideia de ângulo de referência e das propriedades de sinal do cosseno no círculo unitário.

Passo 2

Para achar o ângulo de referência, procuramos r tal que \cos r = \frac{\sqrt{3}}{2}. Sabemos que
\cos \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2},
então r = \frac{\pi}{6}.

Passo 3

O cosseno é positivo no primeiro e quarto quadrantes. Logo, a solução geral é
x = 2\pi k \pm \frac{\pi}{6},\quad k\in\mathbb{Z}.

Passo 4

Para capturar todas as soluções em [0,2\pi], basta usar k=0 e ajustar:
x = +\frac{\pi}{6}\quad\text{ou}\quad x = -\frac{\pi}{6}.
Como -\frac{\pi}{6} não está em [0,2\pi], somamos 2\pi e obtemos
x = 2\pi - \frac{\pi}{6} = \frac{11\pi}{6}.
Não surgem mais valores dentro de [0,2\pi].

Resposta

x = \frac{\pi}{6},\quad \frac{11\pi}{6}.

Exercícios relacionados