Resolva as seguintes equações:
2. y^{\prime}=y+e^{-3 x} y^{4}

Passo 1

O enunciado dá a seguinte equação diferencial ordinária de primeira ordem e pede a sua solução geral:
y' = y + e^{-3x} y^{4}.
Informações relevantes do enunciado:
  • A equação envolve y e sua derivada y'.
  • Há um termo linear em y e um termo não linear e^{-3x} y^{4}.
  • Precisamos encontrar a família de soluções y(x) (solução geral), incluindo possíveis soluções singulares que tenham sido excluídas por manipulações algébricas.

Passo 2

Vamos escolher um método apropriado e explicar o raciocínio (com calma, sem pânico). A equação tem a forma onde aparece y e uma potência de y. Uma técnica padrão para esse tipo de equação é a transformação usada em equações de Bernoulli, que transforma a equação não linear em uma equação linear por meio de uma substituição adequada.
A forma geral da equação de Bernoulli é
y' + P(x)\,y = Q(x)\,y^{n},
onde P(x), Q(x) são funções de x e n é um número real. A substituição usada é
u = y^{\,1-n},
que reduz a equação a uma equação linear em u. Antes de aplicar, explico por que essa substituição funciona: se u = y^{1-n}, então ao derivar u em relação a x obtemos uma expressão que envolve y^{-n} y'; usando a equação original conseguimos eliminar o termo não linear e ficar com uma equação linear em u. Vou aplicar esse procedimento passo a passo no nosso caso.

Passo 3

Coloco a equação na forma padrão y' + P(x)y = Q(x) y^{n}. A equação original é
y' = y + e^{-3x} y^{4}.
Reescrevendo:
y' - y = e^{-3x} y^{4},
ou seja
y' + (-1)\,y = e^{-3x}\,y^{4}.
Logo P(x) = -1, Q(x)=e^{-3x} e n=4.
Agora aplico a substituição da Bernoulli: tomo
u = y^{\,1-n} = y^{\,1-4} = y^{-3}.
Derivo u em relação a x. Como u = y^{-3},
u' = -3 y^{-4} y'.
Daqui isolamos y^{-4} y':
y^{-4} y' = -\tfrac{1}{3} u'.
Para usar isso, divido a equação original por y^{4} (atenção: isso só é válido quando y\neq 0; tratarei y\equiv 0 separadamente). Dividindo por y^{4} obtemos
y^{-4} y' - y^{-3} = e^{-3x}.
Agora substituo y^{-4} y' = -\tfrac{1}{3} u' e y^{-3}=u. Assim:
-\tfrac{1}{3} u' - u = e^{-3x}.
Multiplico ambos os lados por -3 para obter uma forma mais simples:
u' + 3u = -3 e^{-3x}.
Pronto: transformamos a equação original numa equação linear de primeira ordem para u(x).

Passo 4

Agora resolvo a equação linear
u' + 3u = -3 e^{-3x}.
Explico o método: para uma equação linear u' + a(x) u = b(x) usamos o fator integrante \mu(x)=e^{\int a(x)\,dx}. Aqui a(x)=3, então
\mu(x)=e^{\int 3\,dx}=e^{3x}.
Multiplicamos toda a equação por \mu(x):
e^{3x} u' + 3 e^{3x} u = -3 e^{3x} e^{-3x}.
O lado esquerdo é a derivada do produto e^{3x} u:
\frac{d}{dx}\big(e^{3x} u\big) = -3.
Agora integramos ambos os lados em relação a x:
e^{3x} u = \int -3\,dx = -3x + C,
onde C é a constante de integração. Assim
u(x) = (-3x + C)\,e^{-3x}.
Posso escrever de forma levemente mais limpa como
u(x) = (C - 3x)\,e^{-3x}.

Passo 5

Voltamos à variável original y. Lembre-se que u = y^{-3}. Então:
y^{-3} = (C - 3x)\,e^{-3x}.
Isolando y (tomando o inverso e depois a raiz cúbica), obtemos
y^{3} = \frac{1}{(C - 3x)\,e^{-3x}} = (C - 3x)^{-1} e^{3x}.
Logo
y(x) = \big((C - 3x)^{-1} e^{3x}\big)^{1/3} = e^{x}\,(C - 3x)^{-1/3}.
Observações importantes:
  • Na etapa de divisão por y^{4} excluímos a solução y\equiv 0. Verifique que y\equiv 0 satisfaz a equação original, pois então y'=0 e o lado direito também é zero. Portanto y\equiv 0 é uma solução válida e deve ser incluída.
  • A solução encontrada tem singularidade quando C - 3x = 0 (ou seja, x = C/3); nesses pontos a solução explode e a expressão acima deixa de ser válida. Em intervalos onde C - 3x mantém sinal e é diferente de zero, a fórmula fornece soluções reais (a raiz cúbica de número negativo é negativa, então o caso de sinal negativo também é permitido se tomarmos a raiz cúbica real).
  • A constante C é arbitrária (real), dando a família de soluções gerais.

Passo 6

Checagem rápida (meta-demonstração): podemos diferenciar a solução proposta y(x)=e^{x}(C-3x)^{-1/3} e substituir na equação original para confirmar que a identidade se mantém. O cálculo é direto (produto e cadeia) e reconduz à igualdade y' = y + e^{-3x} y^{4}, portanto a solução está correta onde definida.

Resposta

y(x)=0
y(x)=e^{x}\,(C-3x)^{-1/3},\quad C\in\mathbb{R}

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