Resolva as seguintes equações:
2.
2.
Passo 1
O enunciado dá a seguinte equação diferencial ordinária de primeira ordem e pede a sua solução geral:
Informações relevantes do enunciado:
- A equação envolve
e sua derivada . - Há um termo linear em
e um termo não linear . - Precisamos encontrar a família de soluções
(solução geral), incluindo possíveis soluções singulares que tenham sido excluídas por manipulações algébricas.
Passo 2
Vamos escolher um método apropriado e explicar o raciocínio (com calma, sem pânico). A equação tem a forma onde aparece
e uma potência de
. Uma técnica padrão para esse tipo de equação é a transformação usada em equações de Bernoulli, que transforma a equação não linear em uma equação linear por meio de uma substituição adequada.
A forma geral da equação de Bernoulli é
onde
,
são funções de
e
é um número real. A substituição usada é
que reduz a equação a uma equação linear em
. Antes de aplicar, explico por que essa substituição funciona: se
, então ao derivar
em relação a
obtemos uma expressão que envolve
; usando a equação original conseguimos eliminar o termo não linear e ficar com uma equação linear em
. Vou aplicar esse procedimento passo a passo no nosso caso.
Passo 3
Coloco a equação na forma padrão
. A equação original é
Reescrevendo:
ou seja
Logo
,
e
.
Agora aplico a substituição da Bernoulli: tomo
Derivo
em relação a
. Como
,
Daqui isolamos
:
Para usar isso, divido a equação original por
(atenção: isso só é válido quando
; tratarei
separadamente). Dividindo por
obtemos
Agora substituo
e
. Assim:
Multiplico ambos os lados por
para obter uma forma mais simples:
Pronto: transformamos a equação original numa equação linear de primeira ordem para
.
Passo 4
Agora resolvo a equação linear
Explico o método: para uma equação linear
usamos o fator integrante
. Aqui
, então
Multiplicamos toda a equação por
:
O lado esquerdo é a derivada do produto
:
Agora integramos ambos os lados em relação a
:
onde
é a constante de integração. Assim
Posso escrever de forma levemente mais limpa como
Passo 5
Voltamos à variável original
. Lembre-se que
. Então:
Isolando
(tomando o inverso e depois a raiz cúbica), obtemos
Logo
Observações importantes:
- Na etapa de divisão por
excluímos a solução . Verifique que satisfaz a equação original, pois então e o lado direito também é zero. Portanto é uma solução válida e deve ser incluída. - A solução encontrada tem singularidade quando
(ou seja, ); nesses pontos a solução explode e a expressão acima deixa de ser válida. Em intervalos onde mantém sinal e é diferente de zero, a fórmula fornece soluções reais (a raiz cúbica de número negativo é negativa, então o caso de sinal negativo também é permitido se tomarmos a raiz cúbica real). - A constante
é arbitrária (real), dando a família de soluções gerais.
Passo 6
Checagem rápida (meta-demonstração): podemos diferenciar a solução proposta
e substituir na equação original para confirmar que a identidade se mantém. O cálculo é direto (produto e cadeia) e reconduz à igualdade
, portanto a solução está correta onde definida.