Resolva as seguintes equações:
19. y^{\prime}=-\frac{4 x+3 y}{2 x+y}

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
y'=-\frac{4x+3y}{2x+y}.
Informações dadas:
\;y' é a derivada de y em relação a x (ou seja \dfrac{dy}{dx}).
A expressão do lado direito é uma razão de polinômios lineares em x e y.
O objetivo é encontrar a solução geral y(x) (ou uma relação implícita entre y e x).

Passo 2

Observação que motiva o método: tanto o numerador 4x+3y quanto o denominador 2x+y são polinômios homogêneos de grau 1 (cada termo tem um fator x ou y). Isso significa que a razão depende apenas da razão y/x. Uma técnica padrão para esse caso é usar a substituição
y=vx,
onde v=v(x). Vou explicar passo a passo como usar isso: escrevemos y em função de x e de uma nova função v(x) e transformamos a EDO em uma equação para v.

Passo 3

Calcule \dfrac{dy}{dx} em termos de v e dv/dx. Como y=vx,
\frac{dy}{dx}=v+x\frac{dv}{dx}.
Agora substituímos y=vx e \dfrac{dy}{dx} na equação original:
v+x\frac{dv}{dx} = -\frac{4x+3(vx)}{2x+(vx)}.
No lado direito, fatoramos x:
-\frac{4x+3vx}{2x+vx} = -\frac{x(4+3v)}{x(2+v)} = -\frac{4+3v}{2+v}.
Portanto obtemos a equação para v:
v+x\frac{dv}{dx} = -\frac{4+3v}{2+v}.

Passo 4

Isolamos \dfrac{dv}{dx}. Subtraindo v de ambos os lados:
x\frac{dv}{dx} = -\frac{4+3v}{2+v} - v.
Colocamos em denominador comum 2+v:
x\frac{dv}{dx} = -\frac{4+3v}{2+v} - \frac{v(2+v)}{2+v} = -\frac{4+3v + v(2+v)}{2+v}.
Desenvolvendo v(2+v)=2v+v^2 e somando:
4+3v + v(2+v) = 4+3v+2v+v^2 = 4+5v+v^2.
Portanto
x\frac{dv}{dx} = -\frac{v^2+5v+4}{2+v}.
Note que v^2+5v+4 fatora:
v^2+5v+4=(v+1)(v+4).
Logo
x\frac{dv}{dx} = -\frac{(v+1)(v+4)}{v+2}.

Passo 5

A equação já é separável. Colocamos os termos em v de um lado e x do outro:
\frac{2+v}{(v+1)(v+4)}\,dv = -\frac{dx}{x}.
Agora vamos integrar ambos os lados. Antes de integrar, é prático decompor a fração em frações parciais.

Passo 6

Fazemos frações parciais para
\frac{2+v}{(v+1)(v+4)} = \frac{A}{v+1} + \frac{B}{v+4}.
Igualando numeradores:
A(v+4)+B(v+1)=v+2.
Agrupando coeficientes de v\) e termo constante: \[(A+B)v + (4A+B)=v+2.
Igualando coeficientes:
\begin{cases} A+B=1,\\[4pt] 4A+B=2. \end{cases}
Subtraindo as equações: 3A=1\] então \(A=\dfrac{1}{3}. Logo B=1-A=\dfrac{2}{3}.
Portanto
\frac{2+v}{(v+1)(v+4)} = \frac{1}{3}\cdot\frac{1}{v+1} + \frac{2}{3}\cdot\frac{1}{v+4}.]

Passo 7

Integramos ambos os lados:
\int\left(\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{v+1} + \frac{2}{3}\cdot\frac{1}{v+4}\right)dv = -\int\frac{dx}{x}.
As primitivas são logaritmos:
\frac{1}{3}\ln|v+1| + \frac{2}{3}\ln|v+4| = -\ln|x| + C,
onde C é constante de integração. Multiplicando tudo por 3:
\ln|v+1| + 2\ln|v+4| = -3\ln|x| + C_1,
com C_1=3C.

Passo 8

Usamos propriedades de logaritmo para combinar:
\ln\big(|v+1|\,|v+4|^{2}\big) = \ln\big(|x|^{-3}\big) + C_1.
Exponenciando ambos os lados e absorvendo e^{C_1} numa constante arbitrária K:
|v+1|\,|v+4|^{2} = K |x|^{-3}.
Como K pode ser positivo ou negativo quando removemos valores absolutos, escrevemos a constante geral simplesmente como C (constante arbitrária não nula) e obtemos a solução implícita:
(v+1)(v+4)^{2} = C x^{-3}.
Agora substituímos v=\dfrac{y}{x}. Calculamos
v+1=\frac{y}{x}+1=\frac{y+x}{x},\qquad v+4=\frac{y}{x}+4=\frac{y+4x}{x}.
Então
\left(\frac{y+x}{x}\right)\left(\frac{y+4x}{x}\right)^{2} = C x^{-3}.
O lado esquerdo é \dfrac{(y+x)(y+4x)^{2}}{x^{3}}. Multiplicando ambos os lados por x^{3} simplifica a expressão para uma forma muito elegante:
(y+x)(y+4x)^{2} = C,
onde C é uma constante arbitrária (pode ser qualquer número real). Esta equação implícita descreve a solução geral.

Passo 9

Observações finais importantes (úteis na prova):
  • As retas y=-x e y=-4x aparecem quando C=0; elas correspondem a soluções particulares (soluções linhares) constantes em v: v=-1 e v=-4.
  • A substituição y=vx exigiu x\neq 0 no desenvolvimento (dividimos por x); a solução implícita obtida vale em intervalos onde a manipulação foi válida (normalmente em intervalos onde x não muda de sinal). As soluções lineares y=-x e y=-4x valem em todo x.
  • A linha y=-2x torna o denominador original zero, então a EDO não está definida aí; nenhuma solução contínua do problema autonômo deve cruzar esse traço onde a equação não é definida, salvo considerações de solução fraca em pontos isolados (mas isso não costuma aparecer em provas básicas).

Resposta

(y+x)(y+4x)^{2}=C

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