Resolva as seguintes equações:
19.
19.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial
Informações dadas:
é a derivada de
em relação a
(ou seja
).
A expressão do lado direito é uma razão de polinômios lineares em e
.
O objetivo é encontrar a solução geral (ou uma relação implícita entre
e
).
A expressão do lado direito é uma razão de polinômios lineares em
O objetivo é encontrar a solução geral
Passo 2
Observação que motiva o método: tanto o numerador
quanto o denominador
são polinômios homogêneos de grau
(cada termo tem um fator
ou
). Isso significa que a razão depende apenas da razão
. Uma técnica padrão para esse caso é usar a substituição
onde
. Vou explicar passo a passo como usar isso: escrevemos
em função de
e de uma nova função
e transformamos a EDO em uma equação para
.
Passo 3
Calcule
em termos de
e
. Como
,
Agora substituímos
e
na equação original:
No lado direito, fatoramos
:
Portanto obtemos a equação para
:
Passo 4
Isolamos
. Subtraindo
de ambos os lados:
Colocamos em denominador comum
:
Desenvolvendo
e somando:
Portanto
Note que
fatora:
Logo
Passo 5
A equação já é separável. Colocamos os termos em
de um lado e
do outro:
Agora vamos integrar ambos os lados. Antes de integrar, é prático decompor a fração em frações parciais.
Passo 6
Fazemos frações parciais para
Igualando numeradores:
Agrupando coeficientes de
Igualando coeficientes:
Subtraindo as equações:
. Logo
.
Portanto
Passo 7
Integramos ambos os lados:
As primitivas são logaritmos:
onde
é constante de integração. Multiplicando tudo por
:
com
.
Passo 8
Usamos propriedades de logaritmo para combinar:
Exponenciando ambos os lados e absorvendo
numa constante arbitrária
:
Como
pode ser positivo ou negativo quando removemos valores absolutos, escrevemos a constante geral simplesmente como
(constante arbitrária não nula) e obtemos a solução implícita:
Agora substituímos
. Calculamos
Então
O lado esquerdo é
. Multiplicando ambos os lados por
simplifica a expressão para uma forma muito elegante:
onde
é uma constante arbitrária (pode ser qualquer número real). Esta equação implícita descreve a solução geral.
Passo 9
Observações finais importantes (úteis na prova):
- As retas
e aparecem quando ; elas correspondem a soluções particulares (soluções linhares) constantes em : e . - A substituição
exigiu no desenvolvimento (dividimos por ); a solução implícita obtida vale em intervalos onde a manipulação foi válida (normalmente em intervalos onde não muda de sinal). As soluções lineares e valem em todo . - A linha
torna o denominador original zero, então a EDO não está definida aí; nenhuma solução contínua do problema autonômo deve cruzar esse traço onde a equação não é definida, salvo considerações de solução fraca em pontos isolados (mas isso não costuma aparecer em provas básicas).