Resolva os seguintes exercícios, calculando as derivadas parciais de primeira e segunda ordem:
Para
. Determine:
-
-
Para
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para calcular as derivadas parciais de primeira ordem
e
e as derivadas parciais de segunda ordem
. As informações relevantes são: a função interior é
e o logaritmo natural é aplicado a ela. Nada mais é fornecido.
Passo 2
Regra importante que vamos usar (a “aula rápida”):
Se então, por regra da cadeia, a derivada parcial em relação a
é
Se
onde
. De modo análogo para
:
Aqui
. Lembre que ao derivar parcialmente em relação a uma variável, a outra é tratada como constante.
Passo 3
Calcular
e
do interior:
Passo 4
Aplicando a fórmula da cadeia para
:
Explicando: derivei o interior em
(que é
) e dividi pelo interior original
.
Passo 5
Aplicando a fórmula da cadeia para
:
Aqui derivei o interior em
(que é
) e dividi pelo interior.
Passo 6
Agora vamos às segundas derivadas. Para
vamos derivar
em relação a
. É prático escrever
Usamos a regra do produto: se
e
(aqui
é constante), então
Calculando termos:
Substituindo:
Colocando em denominador comum
:
Passo 7
Para
derivamos
em relação a
. Escrevendo
e usando regra do produto (aqui
é constante):
Assim
Colocando em denominador comum:
Fatorando
:
Passo 8
Para
derivamos
em relação a
. Agora
é constante ao derivar em
. Podemos usar a regra da cadeia direto sobre a forma
:
Como
, obtemos
Passo 9
Podemos conferir a simetria cruzada diferenciando
em relação a
:
que coincide com
. Assim
, como esperado quando as derivadas são contínuas na região considerada.