Resolva os seguintes exercícios, calculando as derivadas parciais de primeira e segunda ordem:
Para h(x, y)=\ln \left(x^{2}+y^{3}\right.. Determine:
  • h_{x} ; h_{y}
  • h_{x x} ; h_{y y} ; h_{x y}

Passo 1

O enunciado dá a função
h(x,y)=\ln\bigl(x^{2}+y^{3}\bigr)
e pede para calcular as derivadas parciais de primeira ordem h_{x} e h_{y} e as derivadas parciais de segunda ordem h_{xx},\;h_{yy},\;h_{xy}. As informações relevantes são: a função interior é u(x,y)=x^{2}+y^{3} e o logaritmo natural é aplicado a ela. Nada mais é fornecido.

Passo 2

Regra importante que vamos usar (a “aula rápida”):
Se h(x,y)=\ln(u(x,y)) então, por regra da cadeia, a derivada parcial em relação a x é
h_{x}=\frac{\partial}{\partial x}\ln(u)=\frac{1}{u}\cdot u_{x},
onde u_{x}=\partial u/\partial x. De modo análogo para y:
h_{y}=\frac{1}{u}\cdot u_{y}.
Aqui u(x,y)=x^{2}+y^{3}. Lembre que ao derivar parcialmente em relação a uma variável, a outra é tratada como constante.

Passo 3

Calcular u_{x} e u_{y} do interior:
u(x,y)=x^{2}+y^{3}\implies u_{x}=2x,\qquad u_{y}=3y^{2}.

Passo 4

Aplicando a fórmula da cadeia para h_{x}:
h_{x}=\frac{1}{x^{2}+y^{3}}\cdot 2x=\frac{2x}{x^{2}+y^{3}}.
Explicando: derivei o interior em x (que é 2x) e dividi pelo interior original x^{2}+y^{3}.

Passo 5

Aplicando a fórmula da cadeia para h_{y}:
h_{y}=\frac{1}{x^{2}+y^{3}}\cdot 3y^{2}=\frac{3y^{2}}{x^{2}+y^{3}}.
Aqui derivei o interior em y (que é 3y^{2}) e dividi pelo interior.

Passo 6

Agora vamos às segundas derivadas. Para h_{xx} vamos derivar h_{x}=\dfrac{2x}{x^{2}+y^{3}} em relação a x. É prático escrever
h_{x}=2x\,(x^{2}+y^{3})^{-1}.
Usamos a regra do produto: se f(x)=2x e g(x)=(x^{2}+y^{3})^{-1} (aqui y é constante), então
h_{xx}=f'(x)g(x)+f(x)g'(x).
Calculando termos:
f'(x)=2,\qquad g'(x)=-1\cdot(x^{2}+y^{3})^{-2}\cdot 2x=-\frac{2x}{(x^{2}+y^{3})^{2}}.
Substituindo:
h_{xx}=2\,(x^{2}+y^{3})^{-1}+2x\left(-\frac{2x}{(x^{2}+y^{3})^{2}}\right) =\frac{2}{x^{2}+y^{3}}-\frac{4x^{2}}{(x^{2}+y^{3})^{2}}.
Colocando em denominador comum (x^{2}+y^{3})^{2}:
h_{xx}=\frac{2(x^{2}+y^{3})-4x^{2}}{(x^{2}+y^{3})^{2}} =\frac{2(y^{3}-x^{2})}{(x^{2}+y^{3})^{2}}.

Passo 7

Para h_{yy} derivamos h_{y}=\dfrac{3y^{2}}{x^{2}+y^{3}} em relação a y. Escrevendo
h_{y}=3y^{2}\,(x^{2}+y^{3})^{-1},
e usando regra do produto (aqui x é constante):
f(y)=3y^{2}\implies f'(y)=6y,
g(y)=(x^{2}+y^{3})^{-1}\implies g'(y)=-1\cdot(x^{2}+y^{3})^{-2}\cdot 3y^{2}=-\frac{3y^{2}}{(x^{2}+y^{3})^{2}}.
Assim
h_{yy}=6y\,(x^{2}+y^{3})^{-1}+3y^{2}\left(-\frac{3y^{2}}{(x^{2}+y^{3})^{2}}\right) =\frac{6y}{x^{2}+y^{3}}-\frac{9y^{4}}{(x^{2}+y^{3})^{2}}.
Colocando em denominador comum:
h_{yy}=\frac{6y(x^{2}+y^{3})-9y^{4}}{(x^{2}+y^{3})^{2}} =\frac{6yx^{2}+6y^{4}-9y^{4}}{(x^{2}+y^{3})^{2}} =\frac{6yx^{2}-3y^{4}}{(x^{2}+y^{3})^{2}}.
Fatorando 3y:
h_{yy}=\frac{3y(2x^{2}-y^{3})}{(x^{2}+y^{3})^{2}}.

Passo 8

Para h_{xy} derivamos h_{x}=\dfrac{2x}{x^{2}+y^{3}} em relação a y. Agora x é constante ao derivar em y. Podemos usar a regra da cadeia direto sobre a forma \,2x\,(x^{2}+y^{3})^{-1}\,:
\frac{\partial}{\partial y}h_{x}=2x\cdot\left(-1\right)(x^{2}+y^{3})^{-2}\cdot \frac{\partial}{\partial y}(x^{2}+y^{3}).
Como \partial (x^{2}+y^{3})/\partial y=3y^{2}, obtemos
h_{xy}=-2x\cdot\frac{3y^{2}}{(x^{2}+y^{3})^{2}}=-\frac{6xy^{2}}{(x^{2}+y^{3})^{2}}.

Passo 9

Podemos conferir a simetria cruzada diferenciando h_{y} em relação a x:
\frac{\partial}{\partial x}h_{y}=3y^{2}\cdot(-1)(x^{2}+y^{3})^{-2}\cdot 2x=-\frac{6xy^{2}}{(x^{2}+y^{3})^{2}},
que coincide com h_{xy}. Assim h_{xy}=h_{yx}, como esperado quando as derivadas são contínuas na região considerada.

Resposta

h_{x}=\dfrac{2x}{x^{2}+y^{3}} \n
h_{y}=\dfrac{3y^{2}}{x^{2}+y^{3}} \n
h_{xx}=\dfrac{2(y^{3}-x^{2})}{(x^{2}+y^{3})^{2}} \n
h_{yy}=\dfrac{3y(2x^{2}-y^{3})}{(x^{2}+y^{3})^{2}} \n
h_{xy}=-\dfrac{6xy^{2}}{(x^{2}+y^{3})^{2}}

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