Resolva os seguintes exercícios, calculando as derivadas parciais de primeira e segunda ordem:
Dada g(x, y)=e^{2 x} \cdot \operatorname{sen}(y), encontre:
  • g_{x} ; g_{y}
  • g_{x x} ; g_{y y} ; g_{x y}

Passo 1

Temos a função g dada por \;g(x,y)=e^{2x}\sin(y).\n
O que o enunciado pede:
  • Calcular as derivadas parciais de primeira ordem: \;g_x e \;g_y.\n
  • Calcular as derivadas parciais de segunda ordem: \;g_{xx},\;g_{yy} e \;g_{xy}.\n
    Informações relevantes extraídas do enunciado: a função é o produto de uma função que depende só de x, \;e^{2x}, e de uma função que depende só de y, \;\sin(y).

Passo 2

Conceitos e regras que vamos usar (explicados devagarinho):
  • Derivada parcial em relação a x: ao calcular \partial/\partial x tratamos y como constante. Ou seja, funções que dependem só de y tornam-se constantes nesse processo.
  • Derivada parcial em relação a y: ao calcular \partial/\partial y tratamos x como constante.
  • Produto de funções (regra do produto): se h(x,y)=u(x)\cdot v(y) então \displaystyle \frac{\partial h}{\partial x}=u'(x)\,v(y) porque v(y) é constante quando derivamos em x.
  • Regra da cadeia para exponencial: se u(x)=e^{\varphi(x)} então \displaystyle u'(x)=e^{\varphi(x)}\varphi'(x). Exemplo simples: \displaystyle \frac{d}{dx}e^{3x}=3e^{3x}.
Vou aplicar essas regras passo a passo no nosso g(x,y)=e^{2x}\sin(y).

Passo 3

Cálculo de \;g_x.
Começo de forma explícita: \;g(x,y)=e^{2x}\sin(y).
Ao derivar em relação a x, tratamos \sin(y) como constante. Usamos a regra da cadeia para \;e^{2x}:
\frac{\partial}{\partial x}e^{2x}=e^{2x}\cdot \frac{d}{dx}(2x)=e^{2x}\cdot 2.
Portanto,
g_x=\frac{\partial g}{\partial x}=(e^{2x})'\sin(y)=(2e^{2x})\sin(y).
Ou seja,
g_x=2e^{2x}\sin(y).

Passo 4

Cálculo de \;g_y.
Ao derivar em relação a y, tratamos e^{2x} como constante e usamos \displaystyle \frac{d}{dy}\sin(y)=\cos(y). Assim,
g_y=\frac{\partial g}{\partial y}=e^{2x}\cdot (\sin(y))' = e^{2x}\cos(y).

Passo 5

Cálculo de \;g_{xx}.
Partimos do resultado \;g_x=2e^{2x}\sin(y). Para \;g_{xx} derivamos \;g_x em relação a x, tratando \sin(y) como constante:
\frac{\partial}{\partial x}(2e^{2x}\sin(y))=2\sin(y)\cdot \frac{\partial}{\partial x}e^{2x}=2\sin(y)\cdot (2e^{2x}) .
Logo
g_{xx}=4e^{2x}\sin(y).

Passo 6

Cálculo de \;g_{yy}.
Partimos de \;g_y=e^{2x}\cos(y). Para \;g_{yy} derivamos \;g_y em relação a y, tratando e^{2x} como constante e usando \displaystyle \frac{d}{dy}\cos(y)=-\sin(y):
g_{yy}=e^{2x}\cdot (\cos(y))' = e^{2x}\cdot (-\sin(y)) = -e^{2x}\sin(y).

Passo 7

Cálculo de \;g_{xy} e verificação de \;g_{yx}.
Calculo \;g_{xy}=\frac{\partial}{\partial y}(g_x). Lembro que \;g_x=2e^{2x}\sin(y). Derivando em y (com e^{2x} constante):
g_{xy}=\frac{\partial}{\partial y}(2e^{2x}\sin(y))=2e^{2x}\cos(y).
Agora calculo \;g_{yx}=\frac{\partial}{\partial x}(g_y). Lembro que \;g_y=e^{2x}\cos(y). Derivando em x (com \cos(y) constante):
g_{yx}=\frac{\partial}{\partial x}(e^{2x}\cos(y))=2e^{2x}\cos(y).
Portanto \;g_{xy}=g_{yx}=2e^{2x}\cos(y). Comentário rápido: isso está de acordo com o teorema de Clairaut (as derivadas mistas são iguais) porque g é uma função suave (infinitamente diferenciável).

Resposta

g_x=2e^{2x}\sin(y),\;g_y=e^{2x}\cos(y)\n
g_{xx}=4e^{2x}\sin(y),\;g_{yy}=-e^{2x}\sin(y),\;g_{xy}=2e^{2x}\cos(y)

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