Resolva os seguintes exercícios, calculando as derivadas parciais de primeira e segunda ordem:
Dada
, encontre:
-
-
Dada
Passo 1
Temos a função
dada por
.\n
O que o enunciado pede:
O que o enunciado pede:
- Calcular as derivadas parciais de primeira ordem:
e .\n - Calcular as derivadas parciais de segunda ordem:
e .\n
Informações relevantes extraídas do enunciado: a função é o produto de uma função que depende só de, , e de uma função que depende só de , .
Passo 2
Conceitos e regras que vamos usar (explicados devagarinho):
- Derivada parcial em relação a
: ao calcular tratamos como constante. Ou seja, funções que dependem só de tornam-se constantes nesse processo. - Derivada parcial em relação a
: ao calcular tratamos como constante. - Produto de funções (regra do produto): se
então porque é constante quando derivamos em . - Regra da cadeia para exponencial: se
então . Exemplo simples: .
Vou aplicar essas regras passo a passo no nosso
.
Passo 3
Cálculo de
.
Começo de forma explícita:
.
Ao derivar em relação a
, tratamos
como constante. Usamos a regra da cadeia para
:
Portanto,
Ou seja,
Passo 4
Cálculo de
.
Ao derivar em relação a
, tratamos
como constante e usamos
. Assim,
Passo 5
Cálculo de
.
Partimos do resultado
. Para
derivamos
em relação a
, tratando
como constante:
Logo
Passo 6
Cálculo de
.
Partimos de
. Para
derivamos
em relação a
, tratando
como constante e usando
:
Passo 7
Cálculo de
e verificação de
.
Calculo
. Lembro que
. Derivando em
(com
constante):
Agora calculo
. Lembro que
. Derivando em
(com
constante):
Portanto
. Comentário rápido: isso está de acordo com o teorema de Clairaut (as derivadas mistas são iguais) porque
é uma função suave (infinitamente diferenciável).