Resolva os seguintes exercícios, encontrando e classificando todos os pontos críticos.
f(x, y)=2 x^{2}+y^{2}-4 x+6 y+10

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y)=2x^{2}+y^{2}-4x+6y+10
e pede para encontrar e classificar todos os pontos críticos.
Informações importantes que temos:
  • A função f é definida para todo par (x,y)\in\mathbb{R}^{2}.
  • Precisamos achar pontos onde o gradiente de f é nulo ou não existe (pontos críticos) e então classificá‑los (mínimo, máximo ou sela).

Passo 2

O que é um ponto crítico (revisão didática)?
  • Para uma função f(x,y) de duas variáveis, o gradiente é o vetor das derivadas parciais:
\nabla f(x,y)=\left(\frac{\partial f}{\partial x},\;\frac{\partial f}{\partial y}\right).
  • Um ponto (x_{0},y_{0}) é crítico se \nabla f(x_{0},y_{0})=(0,0) ou se alguma derivada parcial não existir.
    Aqui as derivadas parciais existem em todo lugar (polinômio), então procuramos soluções de \nabla f=0.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais passo a passo.
Derivada parcial em relação a x:
  • \frac{\partial}{\partial x}(2x^{2})=4x porque \frac{d}{dx}x^{2}=2x e há fator 2.
  • \frac{\partial}{\partial x}(-4x)=-4.
  • Os termos em y e constantes têm derivada zero em relação a x.
Logo
\frac{\partial f}{\partial x}=4x-4.
Derivada parcial em relação a y:
  • \frac{\partial}{\partial y}(y^{2})=2y.
  • \frac{\partial}{\partial y}(6y)=6.
  • Os termos em x e constantes têm derivada zero em relação a y.
Logo
\frac{\partial f}{\partial y}=2y+6.

Passo 4

Encontrar os pontos onde \nabla f=0\). Resolver o sistema \[\begin{cases} 4x-4=0,\\[4pt] 2y+6=0. \end{cases}
Resolver cada equação:
  • Da primeira: 4x-4=0 \Rightarrow 4x=4 \Rightarrow x=1.\] - Da segunda: \(2y+6=0 \Rightarrow 2y=-6 \Rightarrow y=-3.
Portanto existe um único ponto crítico:
(1,-3).]

Passo 5

Agora classificamos o ponto crítico usando as segundas derivadas (teste da matriz Hessiana). Explico o teste de forma didática:
  • Calcule as segundas derivadas:
\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}=f_{xx},\qquad \frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}=f_{yy},\qquad \frac{\partial^{2} f}{\partial x\partial y}=f_{xy}.
  • Para funções duas variáveis, definimos o discriminante (determinante da Hessiana) em um ponto:
D=f_{xx}f_{yy}-\bigl(f_{xy}\bigr)^{2}.
  • Regras do teste:
    • Se D>0 e f_{xx}>0 então há mínimo local.
    • Se D>0 e f_{xx}<0 então há máximo local.
    • Se D<0 então há ponto de sela.
    • Se D=0 o teste é inconclusivo.

Passo 6

Calcular as segundas derivadas para a nossa função:
  • A partir de \frac{\partial f}{\partial x}=4x-4 obtemos
f_{xx}=\frac{\partial}{\partial x}(4x-4)=4.
  • A partir de \frac{\partial f}{\partial y}=2y+6 obtemos
f_{yy}=\frac{\partial}{\partial y}(2y+6)=2.
  • Como as derivadas mistas da função polinomial são zero,
f_{xy}=0.
Calcular D:
D=f_{xx}f_{yy}-(f_{xy})^{2}=4\cdot 2-0^{2}=8.
Temos D=8>0 e f_{xx}=4>0. Pelo teste, o ponto crítico (1,-3) é um mínimo local.

Passo 7

Argumento adicional (útil na prova): a função é um polinômio quadrático com matriz Hessiana constante e positiva definida (valores próprios positivos), portanto f é convexa no plano e o mínimo local é também mínimo global. Assim (1,-3) é mínimo global.

Passo 8

Calcular o valor da função no ponto para obter o valor mínimo:
f(1,-3)=2\cdot 1^{2}+(-3)^{2}-4\cdot 1+6\cdot(-3)+10.
Calcule passo a passo:
2\cdot 1^{2}=2,\quad (-3)^{2}=9,\quad -4\cdot 1=-4,\quad 6\cdot(-3)=-18.
Somando:
2+9-4-18+10 = 11-22+10 = -1.
Logo o valor mínimo é -1.

Resposta

(1,-3) — mínimo (local e global) com valor f(1,-3)=-1.

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