Resolva os seguintes exercícios, encontrando e classificando todos os pontos críticos.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para encontrar e classificar todos os pontos críticos.
Informações importantes que temos:
Informações importantes que temos:
- A função
é definida para todo par . - Precisamos achar pontos onde o gradiente de
é nulo ou não existe (pontos críticos) e então classificá‑los (mínimo, máximo ou sela).
Passo 2
O que é um ponto crítico (revisão didática)?
- Para uma função
de duas variáveis, o gradiente é o vetor das derivadas parciais:
- Um ponto
é crítico se ou se alguma derivada parcial não existir.
Aqui as derivadas parciais existem em todo lugar (polinômio), então procuramos soluções de.
Passo 3
Calcular as derivadas parciais passo a passo.
Derivada parcial em relação a
:
-
porque e há fator . -
. - Os termos em
e constantes têm derivada zero em relação a .
Logo
Derivada parcial em relação a
:
-
. -
. - Os termos em
e constantes têm derivada zero em relação a .
Logo
Passo 4
Encontrar os pontos onde
Resolver cada equação:
- Da primeira:
Portanto existe um único ponto crítico:
Passo 5
Agora classificamos o ponto crítico usando as segundas derivadas (teste da matriz Hessiana). Explico o teste de forma didática:
- Calcule as segundas derivadas:
- Para funções duas variáveis, definimos o discriminante (determinante da Hessiana) em um ponto:
- Regras do teste:
- Se
e então há mínimo local. - Se
e então há máximo local. - Se
então há ponto de sela. - Se
o teste é inconclusivo.
- Se
Passo 6
Calcular as segundas derivadas para a nossa função:
- A partir de
obtemos
- A partir de
obtemos
- Como as derivadas mistas da função polinomial são zero,
Calcular
:
Temos
e
. Pelo teste, o ponto crítico
é um mínimo local.
Passo 7
Argumento adicional (útil na prova): a função é um polinômio quadrático com matriz Hessiana constante e positiva definida (valores próprios positivos), portanto
é convexa no plano e o mínimo local é também mínimo global. Assim
é mínimo global.
Passo 8
Calcular o valor da função no ponto para obter o valor mínimo:
Calcule passo a passo:
Somando:
Logo o valor mínimo é
.