Calcule f^{\prime}(\pi / 4), para:
f(x)=\operatorname{cossec} x

Passo 1

O enunciado pede o valor de f^{\prime}(\pi/4) para a função dada. Informações do enunciado que vamos usar:
  • A função é f(x)=\operatorname{cossec} x.
  • Em notação mais comum, \operatorname{cossec} x significa a cosecante de x, isto é \operatorname{cossec} x=\csc x=\dfrac{1}{\sin x}.
  • Precisamos calcular a derivada de f e depois avaliá-la em x=\pi/4.

Passo 2

Reescrevemos f de uma forma que facilita derivar. Definimos
f(x)=\frac{1}{\sin x}=(\sin x)^{-1}.
Essa escrita permite usar a regra da cadeia combinada com a regra de potências para derivar uma função da forma u(x)^{n}.

Passo 3

Explico a regra que vou usar (regra da cadeia + potência), de modo bem claro e com exemplo: se u(x) é uma função diferenciável e consideramos h(x)=u(x)^{n} com n um número real, então
h'(x)=n\,u(x)^{\,n-1}\cdot u'(x).
No nosso caso temos n=-1 e u(x)=\sin x. Como exemplo simples e parecido: para g(x)=x^{-1} temos g'(x)=-1\cdot x^{-2}=-x^{-2}.

Passo 4

Aplicamos a regra ao nosso f(x)=(\sin x)^{-1}. Primeiro calculemos u'(x) com u(x)=\sin x. Sabemos (ou aceitamos como fato básico) que
\frac{d}{dx}\sin x=\cos x.
Então, usando a regra da potência com n=-1,
f'(x)=-1\cdot(\sin x)^{-2}\cdot\cos x = -\frac{\cos x}{\sin^{2} x}.
É útil notar também uma forma alternativa usando funções trigonométricas usuais:
-\frac{\cos x}{\sin^{2} x} = -\left(\frac{\cos x}{\sin x}\right)\!\left(\frac{1}{\sin x}\right) = -\cot x\;\csc x.
Ambas as formas são equivalentes; vou usar a forma -\dfrac{\cos x}{\sin^{2} x} para fazer a substituição numérica.

Passo 5

Agora avaliamos em x=\pi/4. Primeiro lembramos os valores trigonométricos básicos em \pi/4:
\sin\left(\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2},\qquad \cos\left(\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}.
Substituindo em f'(x)=-\dfrac{\cos x}{\sin^{2} x}, obtemos
f'\!\left(\frac{\pi}{4}\right) = -\frac{\dfrac{\sqrt{2}}{2}}{\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)^{2}}.
Calculemos o denominador explicitamente:
\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^{2}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}.
Portanto
f'\!\left(\frac{\pi}{4}\right) = -\frac{\dfrac{\sqrt{2}}{2}}{\dfrac{1}{2}}.

Passo 6

Finalizando a simplificação da fração:
-\frac{\dfrac{\sqrt{2}}{2}}{\dfrac{1}{2}} = -\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\cdot \dfrac{2}{1}\right) = -\sqrt{2}.
Uma verificação alternativa rápida usando -\cot x\csc x: \cot(\pi/4)=1 e \csc(\pi/4)=1/\sin(\pi/4)=2/\sqrt{2}=\sqrt{2}, então -\cot\cdot\csc = -1\cdot\sqrt{2}=-\sqrt{2}, confere com o cálculo acima.

Resposta

-\sqrt{2}

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