Calcule
, para:
Passo 1
O enunciado pede o valor de
para a função dada. Informações do enunciado que vamos usar:
- A função é
. - Em notação mais comum,
significa a cosecante de , isto é . - Precisamos calcular a derivada de
e depois avaliá-la em .
Passo 2
Reescrevemos
de uma forma que facilita derivar. Definimos
Essa escrita permite usar a regra da cadeia combinada com a regra de potências para derivar uma função da forma
.
Passo 3
Explico a regra que vou usar (regra da cadeia + potência), de modo bem claro e com exemplo: se
é uma função diferenciável e consideramos
com
um número real, então
No nosso caso temos
e
. Como exemplo simples e parecido: para
temos
.
Passo 4
Aplicamos a regra ao nosso
. Primeiro calculemos
com
. Sabemos (ou aceitamos como fato básico) que
Então, usando a regra da potência com
,
É útil notar também uma forma alternativa usando funções trigonométricas usuais:
Ambas as formas são equivalentes; vou usar a forma
para fazer a substituição numérica.
Passo 5
Agora avaliamos em
. Primeiro lembramos os valores trigonométricos básicos em
:
Substituindo em
, obtemos
Calculemos o denominador explicitamente:
Portanto
Passo 6
Finalizando a simplificação da fração:
Uma verificação alternativa rápida usando
:
e
, então
, confere com o cálculo acima.