Resolva as seguintes inequações e escreva a solução com a notação de intervalo
\frac{x^{2}-3}{x-1}>x-4

Passo 1

O enunciado dá a inequação
\frac{x^{2}-3}{x-1}>x-4
O que se pede: encontrar todos os valores de x que satisfazem essa desigualdade e escrever a solução na notação de intervalos.
Informações relevantes fornecidas:
  • A expressão envolve uma fração com denominador (x-1), portanto x=1 não está no domínio (é um ponto proibido).
  • A desigualdade é estrita ( >), então pontos onde a expressão se anula não podem ser incluídos na solução.

Passo 2

Vamos passar tudo para o mesmo lado da desigualdade para obter uma única fração, assim podemos estudar o sinal dessa fração. Subtraindo x-4 de ambos os lados:
\frac{x^{2}-3}{x-1}-(x-4)>0
Colocando sobre o mesmo denominador (x-1):
\frac{x^{2}-3-(x-4)(x-1)}{x-1}>0
Agora expandimos (x-4)(x-1):
(x-4)(x-1)=x^{2}-5x+4
Substituindo:
\frac{x^{2}-3-(x^{2}-5x+4)}{x-1}>0
Simplificando o numerador (note que x^{2} cancela):
\frac{5x-7}{x-1}>0

Passo 3

Agora temos a inequação equivalente
\frac{5x-7}{x-1}>0.
Identificamos os pontos críticos que mudam o sinal da fração:
  • Numerador zero em \;5x-7=0\Rightarrow x=\frac{7}{5}.
  • Denominador zero em \;x-1=0\Rightarrow x=1, que é excluído do domínio.
Portanto os pontos que dividem a reta em intervalos são x=1 e x=\frac{7}{5}.

Passo 4

Fazemos um quadro de sinais testando um ponto em cada intervalo formado por 1 e \frac{7}{5}.
Intervalos: (-\infty,1), (1,\tfrac{7}{5}), (\tfrac{7}{5},\infty).
  • Para x\in(-\infty,1), escolha x=0.
    5x-7=5\cdot0-7=-7\\ (<0),\qquad x-1=0-1=-1\\ (<0).
    Resultado: \dfrac{5x-7}{x-1}=\dfrac{(-)}{(-)}=(+). Logo a desigualdade (>) é satisfeita neste intervalo.
  • Para x\in(1,\tfrac{7}{5}), escolha x=\tfrac{6}{5}=1{,}2.
    5x-7=5\cdot\frac{6}{5}-7=6-7=-1\\ (<0),\qquad x-1=\frac{6}{5}-1=\frac{1}{5}\\ (>0).
    Resultado: \dfrac{5x-7}{x-1}=\dfrac{(-)}{(+)}=(-). A desigualdade não é satisfeita neste intervalo.
  • Para x\in(\tfrac{7}{5},\infty), escolha x=2.
    5x-7=10-7=3\\ (>0),\qquad x-1=2-1=1\\ (>0).
    Resultado: \dfrac{5x-7}{x-1}=\dfrac{(+)}{(+)}=(+). A desigualdade é satisfeita neste intervalo.
Verificação dos pontos críticos:
  • x=1 não pode ser incluído (denominador zero).
  • x=\tfrac{7}{5} zera o numerador, tornando a fração igual a 0, mas a desigualdade é estrita ( >), então x=\tfrac{7}{5} também não é incluído.

Passo 5

Conclusão: a desigualdade é verdadeira para x em (-\infty,1) e também para x em (\tfrac{7}{5},\infty). Em x=1 a expressão não está definida e em x=\tfrac{7}{5} a expressão vale 0, ambos excluídos pela desigualdade estrita.

Resposta

\;(-\infty,1)\cup\left(\dfrac{7}{5},\infty\right)

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