Resolva as seguintes inequações e escreva a solução com a notação de intervalo
Passo 1
O enunciado dá a inequação
O que se pede: encontrar todos os valores de
que satisfazem essa desigualdade e escrever a solução na notação de intervalos.
Informações relevantes fornecidas:
- A expressão envolve uma fração com denominador
, portanto não está no domínio (é um ponto proibido). - A desigualdade é estrita (
), então pontos onde a expressão se anula não podem ser incluídos na solução.
Passo 2
Vamos passar tudo para o mesmo lado da desigualdade para obter uma única fração, assim podemos estudar o sinal dessa fração. Subtraindo
de ambos os lados:
Colocando sobre o mesmo denominador
:
Agora expandimos
:
Substituindo:
Simplificando o numerador (note que
cancela):
Passo 3
Agora temos a inequação equivalente
Identificamos os pontos críticos que mudam o sinal da fração:
- Numerador zero em
- Denominador zero em
que é excluído do domínio.
Portanto os pontos que dividem a reta em intervalos são
e
.
Passo 4
Fazemos um quadro de sinais testando um ponto em cada intervalo formado por
e
.
Intervalos:
,
,
.
-
Para
, escolha . Resultado:. Logo a desigualdade é satisfeita neste intervalo. -
Para
, escolha . Resultado:. A desigualdade não é satisfeita neste intervalo. -
Para
, escolha . Resultado:. A desigualdade é satisfeita neste intervalo.
Verificação dos pontos críticos:
-
não pode ser incluído (denominador zero). -
zera o numerador, tornando a fração igual a , mas a desigualdade é estrita ( ), então também não é incluído.
Passo 5
Conclusão: a desigualdade é verdadeira para
em
e também para
em
. Em
a expressão não está definida e em
a expressão vale
, ambos excluídos pela desigualdade estrita.