Resolva as seguintes inequações e faça a representação gráfica de sua solução:
2 x+7 \leq 15

Passo 1

O enunciado pede que se resolva a inequação e que se apresente a solução graficamente. A inequação dada é:
2x + 7 \leq 15.
Informações fornecidas:
  • A desigualdade é linear em x.
  • Quer-se encontrar todos os valores de x que satisfazem essa desigualdade.
  • Também é pedido representar a solução numa linha numérica (gráfico).

Passo 2

Conceitos que vou usar (explicação didática e prática):
  • Podemos somar ou subtrair o mesmo número em ambos os lados de uma desigualdade sem mudar sua validade. Por exemplo, se a \leq b, então a+c \leq b+c para qualquer c.
  • Podemos multiplicar ou dividir ambos os lados por um número positivo sem mudar a direção da desigualdade. Por exemplo, se a \leq b e k>0, então ka \leq kb e a/k \leq b/k.
  • Se multiplicarmos ou dividirmos por um número negativo, a desigualdade troca de sentido (por exemplo, se k<0, então ka \geq kb).
    Essas regras vêm da ordem dos números reais: somar o mesmo valor desloca ambos lados na reta; multiplicar por positivo preserva a ordem; multiplicar por negativo inverte a ordem porque os sinais mudam.

Passo 3

Primeiro passo algébrico: eliminar o termo constante do lado esquerdo subtraindo 7 de ambos os lados. Aplicando a regra de soma/subtração:
2x + 7 - 7 \leq 15 - 7.
Isso simplifica para
2x \leq 8,
porque 15 - 7 = 8.

Passo 4

Segundo passo algébrico: isolar x dividindo ambos os lados por 2. Como 2 é positivo, a direção da desigualdade não muda (lembre-se da regra explicada antes). Assim:
\frac{2x}{2} \leq \frac{8}{2}.
Isso dá
x \leq 4.

Passo 5

Interpretação da solução: a desigualdade x \leq 4 significa "todos os números reais menores ou iguais a 4". Em notação de intervalo isso é
(-\infty,\,4].

Passo 6

Verificações rápidas (boa prática para a prova):
  • Teste um valor que deve pertencer: para x=0, 2\cdot 0 + 7 = 7 \leq 15 é verdadeiro. Logo 0 pertence à solução.
  • Teste um valor que não deve pertencer: para x=5, 2\cdot 5 + 7 = 17 \leq 15 é falso. Logo 5 não pertence à solução.

Passo 7

Representação gráfica na reta numérica (descrição passo a passo):
  • Marcar o ponto 4 com um ponto fechado (circulo preenchido) porque o 4 está incluído ( \leq, não apenas <).
  • Desenhar uma seta ou segmento que se estende para a esquerda a partir de 4, indicando todos os números menores que 4.
    Assim obtém-se a representação de (-\infty,4] com ponto fechado em 4 e sombra/linha para a esquerda.

Resposta

x \leq 4

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