Resolva as seguintes inequações:
\frac{x^{2}-6 x-5}{2 x-1} \geq 0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação racional
\frac{x^{2}-6x-5}{2x-1}\ge 0
Esse tipo de problema exige encontrar os zeros do numerador e os pontos em que o denominador se anula, e depois montar um estudo de sinais.

Passo 2

Calculamos as raízes do numerador x^{2}-6x-5=0 usando a fórmula de Bhaskara:
x = \frac{6 \pm \sqrt{(-6)^{2}-4\cdot1\cdot(-5)}}{2\cdot1} = \frac{6 \pm \sqrt{36+20}}{2} = \frac{6 \pm \sqrt{56}}{2} = 3 \pm \sqrt{14}.
Logo, as raízes são
\alpha = 3 - \sqrt{14}, \quad \beta = 3 + \sqrt{14},
e nestes pontos o numerador vira zero.

Passo 3

Determinamos onde o denominador se anula:
2x - 1 = 0 \quad\Longrightarrow\quad x = \frac12.
Em x=\tfrac12 a função não está definida (polo).

Passo 4

Ordenamos os pontos críticos na reta real:
\alpha = 3 - \sqrt{14} \;<\; \frac12 \;<\; \beta = 3 + \sqrt{14}.
Isso define quatro intervalos para testar o sinal de \tfrac{x^{2}-6x-5}{2x-1}.

Passo 5

Analisamos o sinal em cada intervalo, sabendo que
  • o numerador é positivo em x<\alpha e em x>\beta, e negativo em \alpha<x<\beta;
  • o denominador é negativo em x<\tfrac12 e positivo em x>\tfrac12.
Intervalos e sinais de \dfrac{\text{numerador}}{\text{denominador}}:
  • x<\alpha: numerador +, denominador - ⇒ fração -.
  • \alpha<x<\tfrac12: numerador -, denominador - ⇒ fração +.
  • \tfrac12<x<\beta: numerador -, denominador + ⇒ fração -.
  • x>\beta: numerador +, denominador + ⇒ fração +.
Em \alpha e \beta o valor da fração é zero (numerador nulo e denominador não nulo), então esses pontos satisfazem \ge0. Em x=\tfrac12 a fração é indefinida e deve ser excluída.

Passo 6

Reunindo as regiões onde a fração é não negativa, obtemos
x \in [\,\alpha,\tfrac12)\;\cup\;[\beta,\infty),
isto é,
x \in \bigl[3-\sqrt{14},\,\tfrac12\bigr)\;\cup\;\bigl[3+\sqrt{14},\infty\bigr).

Resposta

\boxed{x \in \bigl[3-\sqrt{14},\,\tfrac12\bigr)\;\cup\;\bigl[3+\sqrt{14},\infty\bigr).}

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