Resolva as seguintes inequações:
\operatorname{sen}(x)>0 se 0 \leq x \leq 2 \pi

Passo 1

O enunciado pede para determinar todos os valores de x no intervalo [0,2\pi] que satisfazem a inequação
\sin(x)>0.
Informações relevantes (valores padrão da função seno que vamos usar):
  • \sin(0)=0.
  • \sin\!\left(\tfrac{\pi}{2}\right)=1.
  • \sin(\pi)=0.
  • \sin\!\left(\tfrac{3\pi}{2}\right)=-1.
  • \sin(2\pi)=0.

Passo 2

Entendendo o que significa \sin(x)>0: geometricamente, em um círculo trigonométrico a função \sin(x) dá a coordenada y do ponto correspondente ao ângulo x. Portanto \sin(x)>0 significa que o ponto está acima do eixo x (ou seja, y>0). No círculo isso ocorre exatamente quando o ângulo está entre a reta positiva do eixo x e a reta negativa do eixo x passando pela parte superior — ou seja, nos quadrantes I e II.
Em termos de intervalos de medidas de ângulo, os quadrantes I e II correspondem a
0<x<\pi.
(Note que aqui usamos desigualdade estrita porque em x=0 e em x=\pi a coordenada y vale zero.)

Passo 3

Verificando os extremos do intervalo dado [0,2\pi]:
  • Em x=0 temos \sin(0)=0, portanto não satisfaz \sin(x)>0.
  • Em x=\pi temos \sin(\pi)=0, portanto não satisfaz.
  • Em x=2\pi temos \sin(2\pi)=0, portanto não satisfaz.
Entre 0 e \pi há valores (por exemplo x=\tfrac{\pi}{2}) para os quais \sin(x)>0. Entre \pi e 2\pi (quadrantes III e IV) a \sin é \le 0; por exemplo \sin\!\left(\tfrac{3\pi}{2}\right)=-1.

Passo 4

Conclusão dentro do intervalo pedido: todos os pontos de [0,2\pi] que satisfazem \sin(x)>0 são exatamente aqueles estritamente entre 0 e \pi. Em notação de intervalo:
(0,\pi).

Passo 5

Comentário extra (útil para a prova): a solução geral no conjunto dos reais usa a periodicidade de 2\pi. Para todos os inteiros k,
\sin(x)>0 \iff x\in(2k\pi,(2k+1)\pi).
Dentro de [0,2\pi] isso corresponde ao caso k=0, ou seja (0,\pi).

Resposta

x\in(0,\pi)

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