Resolva as seguintes inequações:
Passo 1
O enunciado pede para resolver a inequação
Informações dadas e o que se busca:
- A expressão a analisar é
. - Queremos todos os valores de
que tornam essa expressão estritamente positiva (maior que zero). - Não há restrição adicional no domínio;
pode ser qualquer número real.
Passo 2
Estratégia escolhida (explicada de forma didática): vou fatorar a expressão para identificar os pontos onde ela pode mudar de sinal (os zeros) e então usar um teste de sinais nos intervalos determinados por esses zeros.
Por que isso funciona? Uma função polinomial é contínua e só pode trocar de sinal onde é zero. Se conseguimos escrever a expressão como produto de fatores simples, basta descobrir o sinal de cada fator em cada intervalo entre as raízes e multiplicar esses sinais para saber o sinal total.
Dica rápida sobre multiplicidade: se um fator aparece com multiplicidade par (por exemplo
) a função não troca de sinal ao passar por
; se a multiplicidade é ímpar, a função troca de sinal. Aqui veremos multiplicidades explícitas depois.
Passo 3
Fatoração da expressão:
porque
é uma diferença de quadrados e fatoriza como
.
As raízes (zeros) do produto são os valores que anulam algum fator:
Cada uma dessas raízes tem multiplicidade
(ou seja, aparecem como fatores lineares simples).
Passo 4
Agora fazemos o teste de sinais nos intervalos separados pelas raízes
. Os intervalos são:
Escolho um ponto de teste em cada intervalo e verifico o sinal de cada fator
,
e
, depois multiplico os sinais.
- Intervalo
. Tomo .
Sinais:
. Resultado: produto negativo.
- Intervalo
. Tomo .
Sinais:
. Resultado: produto positivo.
- Intervalo
. Tomo .
Sinais:
. Resultado: produto negativo.
- Intervalo
. Tomo .
Sinais:
. Resultado: produto positivo.
Passo 5
Interpretando os resultados do teste de sinais:
- A expressão é positiva em
e em . - A inequação pede estritamente
, então os pontos onde a expressão é zero ( ) não pertencem à solução.
Portanto, a solução da inequação é a união dos intervalos onde o produto deu positivo.
Passo 6
Comentário final e reforço didático rápido: como todas as raízes têm multiplicidade ímpar (igual a
), o sinal do produto troca em cada raiz — isso aparece no nosso teste de sinais: positivo em
, depois negativo em
, depois positivo em
. Se uma raiz tivesse multiplicidade par, o sinal não trocaria ao atravessá-la (exemplo: para
, o fator
não muda sinal em
).
Força aí — essa técnica de fatorar e montar o quadro de sinais é a mais prática em prova para inequações polinomiais de baixa ordem!