Resolva as seguintes inequações:
x\left(x^{2}-1\right)>0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação
x\left(x^{2}-1\right)>0.
Informações dadas e o que se busca:
  • A expressão a analisar é x\left(x^{2}-1\right).
  • Queremos todos os valores de x\in\mathbb{R} que tornam essa expressão estritamente positiva (maior que zero).
  • Não há restrição adicional no domínio; x pode ser qualquer número real.

Passo 2

Estratégia escolhida (explicada de forma didática): vou fatorar a expressão para identificar os pontos onde ela pode mudar de sinal (os zeros) e então usar um teste de sinais nos intervalos determinados por esses zeros.
Por que isso funciona? Uma função polinomial é contínua e só pode trocar de sinal onde é zero. Se conseguimos escrever a expressão como produto de fatores simples, basta descobrir o sinal de cada fator em cada intervalo entre as raízes e multiplicar esses sinais para saber o sinal total.
Dica rápida sobre multiplicidade: se um fator aparece com multiplicidade par (por exemplo (x- a)^2) a função não troca de sinal ao passar por x=a; se a multiplicidade é ímpar, a função troca de sinal. Aqui veremos multiplicidades explícitas depois.

Passo 3

Fatoração da expressão:
x\left(x^{2}-1\right)=x\bigl(x-1\bigr)\bigl(x+1\bigr),
porque x^{2}-1 é uma diferença de quadrados e fatoriza como (x-1)(x+1).
As raízes (zeros) do produto são os valores que anulam algum fator:
x= -1,\quad x=0,\quad x=1.
Cada uma dessas raízes tem multiplicidade 1 (ou seja, aparecem como fatores lineares simples).

Passo 4

Agora fazemos o teste de sinais nos intervalos separados pelas raízes -1,0,1. Os intervalos são:
(-\infty,-1),\quad (-1,0),\quad (0,1),\quad (1,\infty).
Escolho um ponto de teste em cada intervalo e verifico o sinal de cada fator x, x-1 e x+1, depois multiplico os sinais.
  1. Intervalo (-\infty,-1). Tomo x=-2.
x=-2\Rightarrow (-2),\quad x-1=-3,\quad x+1=-1.
Sinais: (-)\cdot(-)\cdot(-)=(-). Resultado: produto negativo.
  1. Intervalo (-1,0). Tomo x=-\tfrac{1}{2}.
x=-\tfrac{1}{2}\Rightarrow -\tfrac{1}{2},\quad x-1=-\tfrac{3}{2},\quad x+1=+\tfrac{1}{2}.
Sinais: (-)\cdot(-)\cdot(+)=+. Resultado: produto positivo.
  1. Intervalo (0,1). Tomo x=\tfrac{1}{2}.
x=\tfrac{1}{2}\Rightarrow +\tfrac{1}{2},\quad x-1=-\tfrac{1}{2},\quad x+1=+\tfrac{3}{2}.
Sinais: (+)\cdot(-)\cdot(+)=(-). Resultado: produto negativo.
  1. Intervalo (1,\infty). Tomo x=2.
x=2\Rightarrow 2,\quad x-1=1,\quad x+1=3.
Sinais: (+)\cdot(+)\cdot(+)=+. Resultado: produto positivo.

Passo 5

Interpretando os resultados do teste de sinais:
  • A expressão é positiva em (-1,0) e em (1,\infty).
  • A inequação pede estritamente >\,0, então os pontos onde a expressão é zero ( x=-1,0,1) não pertencem à solução.
Portanto, a solução da inequação é a união dos intervalos onde o produto deu positivo.

Passo 6

Comentário final e reforço didático rápido: como todas as raízes têm multiplicidade ímpar (igual a 1), o sinal do produto troca em cada raiz — isso aparece no nosso teste de sinais: positivo em (-1,0), depois negativo em (0,1), depois positivo em (1,\infty). Se uma raiz tivesse multiplicidade par, o sinal não trocaria ao atravessá-la (exemplo: para x^{2}(x-1)>0, o fator x^{2} não muda sinal em x=0).
Força aí — essa técnica de fatorar e montar o quadro de sinais é a mais prática em prova para inequações polinomiais de baixa ordem!

Resposta

(-1,0)\cup(1,\infty)

Exercícios relacionados