Resolva as seguintes inequações ou sistemas de equações:
\left\{\begin{array}{l}\log (3 x+7) \leq 1 \\\\ 5^{x^{2}}>25^{(2 x-2)}\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema
\begin{cases} \log(3x+7)\le1,\\\\ 5^{x^{2}}>25^{(2x-2)}. \end{cases}
O conteúdo envolvido é inequação logarítmica (base 10) e inequação exponencial com base 5. Vamos precisar ficar de olho no domínio da logaritmo e usar que, para base maior que 1, a^u > a^v equivale a u>v.

Passo 2

Começando por \log(3x+7)\le1. Primeiro, o domínio exige
3x+7>0\quad\Longrightarrow\quad x>-\tfrac{7}{3}.
Em seguida, como \log é crescente (base 10),
\log(3x+7)\le1 \quad\Longrightarrow\quad 3x+7\le10 \quad\Longrightarrow\quad 3x\le3 \quad\Longrightarrow\quad x\le1.
Logo, a solução desta inequação é
-\tfrac{7}{3}<x\le1.

Passo 3

Agora 5^{x^{2}}>25^{(2x-2)}. Escrevendo 25=(5^2), temos
25^{(2x-2)}=(5^2)^{2x-2}=5^{4x-4}.
Como a função 5^t é crescente, a desigualdade vira
x^2>4x-4 \quad\Longrightarrow\quad x^2-4x+4>0 \quad\Longrightarrow\quad (x-2)^2>0.
A única raiz de (x-2)^2=0 é x=2, mas para estrita > excluímos esse ponto. Assim a solução é
x\neq2\quad(\text{toda }x\in\mathbb R\setminus\{2\}).

Passo 4

Fazendo a interseção das duas soluções:
-\tfrac{7}{3}<x\le1 \quad\cap\quad x\neq2 \;\longrightarrow\; -\tfrac{7}{3}<x\le1,
pois 2 não está em \bigl(-\tfrac{7}{3},1] de qualquer forma.

Resposta

\boxed{x\in\bigl(-\tfrac{7}{3},\,1\bigr].}

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