Resolva as seguintes inequações ou sistemas de equações:
\log _{\frac{1}{2}}\left(x^{2}-2\right) \geq \log _{\frac{1}{2}}(3 x)

Passo 1

Temos a inequação
\log_{\frac{1}{2}}\bigl(x^{2}-2\bigr)\ge \log_{\frac{1}{2}}\bigl(3x\bigr).
O conteúdo é inequação logarítmica com base menor que 1. Vamos precisar (a) determinar o domínio das expressões logarítmicas e (b) usar a monotonicidade da função \log_{1/2}, que é decrescente.

Passo 2

Impondo domínio de logaritmo:
x^{2}-2>0 \quad\text{e}\quad 3x>0.
A primeira dá x^{2}>2, ou seja x<-\sqrt{2} ou x>\sqrt{2}. A segunda exige x>0.
Concluímos que o domínio comum é x>\sqrt{2}.

Passo 3

Como a base \tfrac12 está em (0,1), a função \log_{\frac12} é decrescente. Logo a desigualdade se inverte se tirarmos o logaritmo de ambos os lados:
x^{2}-2\le 3x.

Passo 4

Reescrevendo em forma de inequação quadrática:
x^{2}-3x-2\le 0.
Calculamos o discriminante:
\Delta = (-3)^{2}-4\cdot1\cdot(-2)=9+8=17.
As raízes são
x = \frac{3\pm\sqrt{17}}{2}.
Como o coeficiente de x^2 é positivo, a parábola fica abaixo de zero para
\frac{3-\sqrt{17}}{2}\le x\le\frac{3+\sqrt{17}}{2}.

Passo 5

Interseccionando com o domínio x>\sqrt{2}, lembrando que \frac{3-\sqrt{17}}{2}<0 e \sqrt{2}\approx1,414, obtemos
\sqrt{2}<x\le\frac{3+\sqrt{17}}{2}.

Resposta

\boxed{\left(\sqrt{2},\,\frac{3+\sqrt{17}}{2}\right]}

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