Resolva as seguintes inequações trigonométricas no intervalo 0 \leq x \leq 2 \pi.
\sin \frac{x}{2} \leq \frac{\sqrt{2}}{2}

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação
\sin\frac{x}{2}\le\frac{\sqrt{2}}{2}
no intervalo 0\le x\le2\pi. Vamos usar trigonometria básica e análise de monotonia da função seno.

Passo 2

Fazemos a substituição
t=\frac{x}{2}.
Como x\in[0,2\pi], temos t\in[0,\pi]. A inequação se torna
\sin t \le \frac{\sqrt{2}}{2}.

Passo 3

Primeiro, achamos as soluções da equação \sin t=\frac{\sqrt{2}}{2}:
t=\frac{\pi}{4}+2k\pi \quad\text{ou}\quad t=\frac{3\pi}{4}+2k\pi.
No intervalo t\in[0,\pi] só cabem
t=\frac{\pi}{4} \quad\text{e}\quad t=\frac{3\pi}{4}.

Passo 4

Sabemos que \sin t cresce em [0,\frac{\pi}{2}] e decresce em [\frac{\pi}{2},\pi]. Como queremos \sin t\le\frac{\sqrt2}{2}, isso acontece quando
t\in\Bigl[0,\frac{\pi}{4}\Bigr] \quad\cup\quad \Bigl[\frac{3\pi}{4},\pi\Bigr].

Passo 5

Voltando à variável x=2t, obtemos
x\in\Bigl[0,\tfrac{\pi}{2}\Bigr] \quad\cup\quad \Bigl[\tfrac{3\pi}{2},2\pi\Bigr].

Resposta

x\in[0,\tfrac{\pi}{2}]\cup[\tfrac{3\pi}{2},2\pi].

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