Resolva as seguintes inequações trigonométricas no intervalo 0 \leq x \leq 2 \pi.
\tan x>1.

Passo 1

Resumindo o enunciado: queremos encontrar todos os x em [0,2\pi] tais que \tan x>1. O conteúdo aqui é inequação trigonométrica envolvendo a função tangente, que é periódica de período \pi e cresce de -\infty a +\infty em cada ramo entre assíntotas.

Passo 2

Analisamos primeiro o ramo fundamental de \tan x em
-\tfrac{\pi}{2}<x<\tfrac{\pi}{2}.
Nesse intervalo, \tan x é estritamente crescente, com \tan(-\tfrac{\pi}{2}^+)\to -\infty e \tan(\tfrac{\pi}{2}^-)\to+\infty. A equação \tan x=1 ocorre em x=\tfrac{\pi}{4}.
Portanto, neste ramo
\tan x>1\quad\Longleftrightarrow\quad x\in\Bigl(\tfrac{\pi}{4},\,\tfrac{\pi}{2}\Bigr).

Passo 3

Como \tan x tem período \pi, a solução geral de \tan x>1 é obtida somando k\pi a cada ponto do ramo fundamental. Logo
x\in\Bigl(\tfrac{\pi}{4}+k\pi,\;\tfrac{\pi}{2}+k\pi\Bigr) \quad\text{para }k\in\mathbb{Z}.

Passo 4

Para atender à condição 0\le x\le2\pi, examinamos valores inteiros de k:
  • Para k=0:
    \bigl(\tfrac{\pi}{4},\tfrac{\pi}{2}\bigr)\subset[0,2\pi].
  • Para k=1:
    \bigl(\tfrac{\pi}{4}+\pi,\tfrac{\pi}{2}+\pi\bigr)=\bigl(\tfrac{5\pi}{4},\tfrac{3\pi}{2}\bigr)\subset[0,2\pi].
  • Para k\le -1 ou k\ge2 os intervalos estão fora de [0,2\pi].

Resposta

x\in\Bigl(\tfrac{\pi}{4},\tfrac{\pi}{2}\Bigr)\;\cup\;\Bigl(\tfrac{5\pi}{4},\tfrac{3\pi}{2}\Bigr).

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