Resolva as seguintes integrais indefinidas utilizando integração por partes:
\int \mathrm{se}^{2 \mathrm{~s}} \mathrm{ds};

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int s\,e^{2s}\,ds
usando o método de integração por partes. Neste caso, usamos a fórmula
\int u\,dv = u\,v - \int v\,du.

Passo 2

Escolhemos
u = s \quad\text{e}\quad dv = e^{2s}\,ds.
Então
du = ds \quad\text{e}\quad v = \int e^{2s}\,ds = \tfrac{1}{2}e^{2s}.

Passo 3

Aplicando a fórmula de partes:
\int s\,e^{2s}\,ds = u\,v - \int v\,du = s \cdot \tfrac{1}{2}e^{2s} - \int \tfrac{1}{2}e^{2s}\,ds.

Passo 4

Calcular a integral remanescente:
\int \tfrac{1}{2}e^{2s}\,ds = \tfrac{1}{2}\int e^{2s}\,ds = \tfrac{1}{2}\cdot \tfrac{1}{2}e^{2s} = \tfrac{1}{4}e^{2s}.
Substituindo de volta:
\int s\,e^{2s}\,ds = \tfrac{1}{2}s\,e^{2s} - \tfrac{1}{4}e^{2s} + C.

Resposta

\int s\,e^{2s}\,ds = \tfrac{1}{2}s\,e^{2s} - \tfrac{1}{4}e^{2s} + C.

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