Resolva as seguintes integrais indefinidas utilizando integração por partes:
\int 2 e^{4 x} \operatorname{sen} x d x;

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int 2\,e^{4x}\operatorname{sen} x\,dx
usando integração por partes. O conteúdo aqui é a técnica de partes aplicada repetidamente, gerando uma equação em relação à própria integral.

Passo 2

É conveniente puxar a constante 2 para fora e definir
I_0 = \int e^{4x}\operatorname{sen} x\,dx,
de modo que
\int 2\,e^{4x}\operatorname{sen} x\,dx = 2\,I_0.
Vamos então focar em achar I_0.

Passo 3

Para calcular
I_0 = \int e^{4x}\operatorname{sen} x\,dx
escolhemos, na primeira integração por partes,
u = e^{4x},\quad dv = \operatorname{sen} x\,dx
logo
du = 4\,e^{4x}\,dx,\quad v = -\cos x.
Aplicando a fórmula \int u\,dv = u\,v - \int v\,du, obtemos
I_0 = -e^{4x}\cos x + 4\int e^{4x}\cos x\,dx.
Definimos a segunda integral como
J_0 = \int e^{4x}\cos x\,dx,
então
I_0 = -e^{4x}\cos x + 4\,J_0.

Passo 4

Agora calculamos
J_0 = \int e^{4x}\cos x\,dx
por partes, escolhendo
u = e^{4x},\quad dv = \cos x\,dx
então
du = 4\,e^{4x}\,dx,\quad v = \operatorname{sen} x.
Logo
J_0 = e^{4x}\operatorname{sen} x - 4\int e^{4x}\operatorname{sen} x\,dx = e^{4x}\operatorname{sen} x - 4\,I_0.

Passo 5

Substituímos J_0 em
I_0 = -e^{4x}\cos x + 4\,J_0 = -e^{4x}\cos x + 4\bigl(e^{4x}\operatorname{sen} x - 4\,I_0\bigr).
Isso dá
I_0 = -e^{4x}\cos x + 4\,e^{4x}\operatorname{sen} x - 16\,I_0
17\,I_0 = e^{4x}\bigl(-\cos x + 4\operatorname{sen} x\bigr)
I_0 = \frac{e^{4x}}{17}\bigl(4\operatorname{sen} x - \cos x\bigr).

Passo 6

Voltando à integral original, temos
\int 2\,e^{4x}\operatorname{sen} x\,dx = 2\,I_0 = \frac{2\,e^{4x}}{17}\bigl(4\operatorname{sen} x - \cos x\bigr) + C,
onde C é a constante de integração.

Resposta

\int 2\,e^{4x}\operatorname{sen} x\,dx = \frac{2\,e^{4x}}{17}\bigl(4\operatorname{sen} x - \cos x\bigr) + C.

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