Resolva as seguintes integrais indefinidas utilizando integração por partes:
\int 3 \mathrm{x} \cos (2 \mathrm{x}) \mathrm{dx};

Passo 1

Enunciado: calcular \int 3x\cos(2x)\,dx. Para isso usaremos integração por partes, cuja fórmula é
\int u\,dv = uv - \int v\,du

Passo 2

Escolhendo u e dv:
u = 3x
dv = \cos(2x)\,dx

Passo 3

Calculando du e v:
du = 3\,dx
v = \int \cos(2x)\,dx = \frac{1}{2}\sin(2x)

Passo 4

Aplicando a fórmula:
\int 3x\cos(2x)\,dx = uv - \int v\,du
= \frac{3x}{2}\sin(2x) - \frac{3}{2}\int \sin(2x)\,dx
Como
\int \sin(2x)\,dx = -\frac{1}{2}\cos(2x)
segue que
- \frac{3}{2}\int \sin(2x)\,dx = \frac{3}{4}\cos(2x)
Portanto,
\int 3x\cos(2x)\,dx = \frac{3x}{2}\sin(2x) + \frac{3}{4}\cos(2x) + C

Resposta

\frac{3x}{2}\sin(2x) + \frac{3}{4}\cos(2x) + C

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