Resolva as seguintes integrais definidas, utilizando o teorema fundamental do cálculo:
\int_{-1}^{1} \mathrm{xe}^{3 \mathrm{x}} \mathrm{dx};

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{-1}^{1} x e^{3x}\,dx
usando o teorema fundamental do cálculo. Para isso, vamos encontrar uma primitiva de x e^{3x} por meio de integração por partes e depois avaliar nos limites -1 e 1.

Passo 2

Escolhemos as funções para a integração por partes:
u = x,\quad dv = e^{3x}\,dx.
Então
du = dx, \qquad v = \int e^{3x}\,dx = \frac{1}{3}e^{3x}.
Aplicando a fórmula \displaystyle\int u\,dv = uv - \int v\,du, obtemos
\int x e^{3x}\,dx = x\cdot\frac{1}{3}e^{3x} - \int \frac{1}{3}e^{3x}\,dx = \frac{x}{3}e^{3x} - \frac{1}{9}e^{3x} + C.
Podemos escrever a primitiva de forma fatorada:
F(x) = \frac{e^{3x}}{9}(3x - 1).

Passo 3

Usando o teorema fundamental, calculamos
\int_{-1}^{1} x e^{3x}\,dx = F(1) - F(-1).
Primeiro,
F(1) = \frac{e^{3\cdot1}}{9}(3\cdot1 - 1) = \frac{e^3}{9}\cdot2 = \frac{2e^3}{9}.
Em seguida,
F(-1) = \frac{e^{3\cdot(-1)}}{9}(3\cdot(-1) - 1) = \frac{e^{-3}}{9}\cdot(-4) = -\frac{4e^{-3}}{9}.
Logo,
\int_{-1}^{1} x e^{3x}\,dx = \frac{2e^3}{9} - \Bigl(-\frac{4e^{-3}}{9}\Bigr) = \frac{2e^3 + 4e^{-3}}{9}.

Resposta

\int_{-1}^{1} x e^{3x}\,dx = \frac{2e^3 + 4e^{-3}}{9}.

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