Resolva as seguintes integrais indefinidas utilizando a Regra da Substituição:
\int \frac{x-1}{(x-1)^{2}+4} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \frac{x-1}{(x-1)^{2}+4}\,dx
utilizando a regra da substituição.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = x - 1, \quad du = dx.
Com isso o numerador x-1 vira u e o denominador (x-1)^2+4 vira u^2+4. A integral passa a ser
\int \frac{u}{u^{2}+4}\,du.

Passo 3

Para integrar \displaystyle \int \frac{u}{u^{2}+4}\,du, note que a derivada de u^{2}+4 é 2u. Assim, escrevemos
\int \frac{u}{u^{2}+4}\,du = \frac12 \int \frac{2u}{u^{2}+4}\,du = \frac12 \ln\bigl(u^{2}+4\bigr) + C.

Passo 4

Voltando à variável original x, temos u = x-1. Portanto a antiderivada é
\frac12 \ln\bigl((x-1)^{2}+4\bigr) + C.

Resposta

\frac12 \ln\bigl((x-1)^{2}+4\bigr) + C

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