Encontre a solução geral das seguintes equações diferenciais.
\left(x^{2}-1\right) \frac{d y}{d x}+x y=0

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial de primeira ordem
(x^{2}-1)\,\frac{dy}{dx}+x\,y=0.
Este é um caso de equação linear homogênea de primeira ordem, que também pode ser tratada por separação de variáveis.

Passo 2

Vamos colocar a equação em forma separável. Dividindo ambos os lados por (x^{2}-1)\,y (assumindo x^2\neq1 e y\neq0) obtemos
\frac{1}{y}\,\frac{dy}{dx}=-\frac{x}{x^{2}-1}.
Isto é equivalente a
\frac{dy}{y}=-\frac{x\,dx}{x^{2}-1}.

Passo 3

Integramos os dois lados:
\int \frac{dy}{y} = -\int \frac{x\,dx}{x^{2}-1}.
Para o lado direito, use a substituição u=x^{2}-1, logo du=2x\,dx, e portanto
\int \frac{x\,dx}{x^{2}-1} =\frac12\int \frac{du}{u} =\frac12\ln\bigl|u\bigr|+C_{1} =\frac12\ln\bigl|x^{2}-1\bigr|+C_{1}.
No lado esquerdo fica \ln|y|.

Passo 4

Igualando as integrais:
\ln\bigl|y\bigr| = -\frac12\ln\bigl|x^{2}-1\bigr|+C_{1}.
Exponenciando, obtemos
\bigl|y\bigr| = e^{C_{1}}\,(x^{2}-1)^{-\tfrac12}.
Definindo C=\pm e^{C_{1}}, a solução geral é
y = C\,(x^{2}-1)^{-\tfrac12},
válida em intervalos onde x^2\neq1.

Resposta

y = C\,(x^{2}-1)^{-\tfrac12},\quad C\in\mathbb{R}.

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