Resolva as seguintes integrais:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral
Informações importantes fornecidas pelo enunciado:
- A função integranda é o produto de potências de funções trigonométricas:
e . - As funções trigonométricas estão compostas com
(ou seja, há uma função interna ). - Não há limites — é uma integral indefinida, então o resultado precisa de uma constante de integração
.
Passo 2
Vamos reescrever a integranda de forma a identificar uma substituição útil. Observe que podemos separar uma das potências de
assim:
Isto é útil porque a derivada de
está relacionada com
(pela regra da cadeia). Vou usar isso a seguir.
Passo 3
Aplicamos a substituição
Calculemos
usando a regra da cadeia. Sabemos que
, então
Note que isso elimina exatamente um dos fatores
da integranda.
Passo 4
Ainda precisamos escrever o outro fator
em termos de
. Usamos a identidade trigonométrica fundamental entre cotangente e cossecante:
Aplicando com
e lembrando que
, obtemos
Agora substituímos tudo na integral original. Partindo de
fazendo a substituição fica
Portanto a integral em
é
Passo 5
Expanda o integrando para integrar termoa termo:
Logo
Agora integramos potências simples de
. As fórmulas básicas são
para
. Aplicando:
Passo 6
Substituindo as primitivadas obtidas:
Finalmente voltamos à variável original usando
. Assim a primitiva fica
Passo 7
Verificação rápida (opcional, mas boa prática): se derivarmos
pela regra da cadeia e usando
, retornamos à integranda
. Isso confirma que a antiderivada está correta (até uma constante).