Resolva as seguintes integrais:
\int \cot ^{2}(3 x) \csc ^{4}(3 x) dx

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \cot^{2}(3x)\,\csc^{4}(3x)\,dx.
Informações importantes fornecidas pelo enunciado:
  • A função integranda é o produto de potências de funções trigonométricas: \cot^{2}(3x) e \csc^{4}(3x).
  • As funções trigonométricas estão compostas com 3x (ou seja, há uma função interna 3x).
  • Não há limites — é uma integral indefinida, então o resultado precisa de uma constante de integração C.

Passo 2

Vamos reescrever a integranda de forma a identificar uma substituição útil. Observe que podemos separar uma das potências de \csc assim:
\cot^{2}(3x)\,\csc^{4}(3x) = \cot^{2}(3x)\,\csc^{2}(3x)\cdot \csc^{2}(3x).
Isto é útil porque a derivada de \cot(3x) está relacionada com \csc^{2}(3x) (pela regra da cadeia). Vou usar isso a seguir.

Passo 3

Aplicamos a substituição
u=\cot(3x).
Calculemos du usando a regra da cadeia. Sabemos que \dfrac{d}{dx}\cot(3x)=-3\csc^{2}(3x), então
du = -3\,\csc^{2}(3x)\,dx \quad\Rightarrow\quad \csc^{2}(3x)\,dx = -\frac{1}{3}\,du.
Note que isso elimina exatamente um dos fatores \csc^{2}(3x)\,dx da integranda.

Passo 4

Ainda precisamos escrever o outro fator \csc^{2}(3x) em termos de u. Usamos a identidade trigonométrica fundamental entre cotangente e cossecante:
1+\cot^{2}\theta=\csc^{2}\theta.
Aplicando com \theta=3x e lembrando que u=\cot(3x), obtemos
\csc^{2}(3x)=1+u^{2}.
Agora substituímos tudo na integral original. Partindo de
\int \cot^{2}(3x)\,\csc^{4}(3x)\,dx = \int \cot^{2}(3x)\,\csc^{2}(3x)\cdot \csc^{2}(3x)\,dx,
fazendo a substituição fica
\int u^{2}\cdot (1+u^{2})\cdot \bigl(-\tfrac{1}{3}\,du\bigr).
Portanto a integral em u é
-\frac{1}{3}\int u^{2}(1+u^{2})\,du.

Passo 5

Expanda o integrando para integrar termoa termo:
u^{2}(1+u^{2}) = u^{2}+u^{4}.
Logo
-\frac{1}{3}\int (u^{2}+u^{4})\,du = -\frac{1}{3}\left(\int u^{2}\,du + \int u^{4}\,du\right).
Agora integramos potências simples de u. As fórmulas básicas são \int u^{n}\,du = \dfrac{u^{n+1}}{n+1} para n\neq -1. Aplicando:
\int u^{2}\,du = \frac{u^{3}}{3},\qquad \int u^{4}\,du = \frac{u^{5}}{5}.

Passo 6

Substituindo as primitivadas obtidas:
-\frac{1}{3}\left(\frac{u^{3}}{3} + \frac{u^{5}}{5}\right) + C = -\frac{u^{3}}{9} - \frac{u^{5}}{15} + C.
Finalmente voltamos à variável original usando u=\cot(3x). Assim a primitiva fica
-\frac{1}{9}\cot^{3}(3x) - \frac{1}{15}\cot^{5}(3x) + C.

Passo 7

Verificação rápida (opcional, mas boa prática): se derivarmos
F(x) = -\frac{1}{9}\cot^{3}(3x) - \frac{1}{15}\cot^{5}(3x),
pela regra da cadeia e usando \dfrac{d}{dx}\cot(3x)=-3\csc^{2}(3x), retornamos à integranda \cot^{2}(3x)\csc^{4}(3x). Isso confirma que a antiderivada está correta (até uma constante).

Resposta

-\dfrac{1}{9}\cot^{3}(3x)-\dfrac{1}{15}\cot^{5}(3x)+C

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