( 1,0 pts) (Extra) Seja f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} e x_{0} \in \mathbb{R} um ponto crítico de f(x). Podemos concluir que x_{0} é ponto de máximo ou mínimo local de f ? Obs: Dizer somente sim ou não sem maiores justificativas não é uma resposta válida.

Passo 1

O enunciado dá: uma função f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} e um ponto x_{0}\in\mathbb{R} que é dito ser um ponto crítico de f. A pergunta é: podemos concluir que x_{0} é um ponto de máximo ou mínimo local de f? Listei as informações relevantes fornecidas:
  • f é uma função real de variável real.
  • x_{0} é um ponto crítico de f (a definição exata de “ponto crítico” será explicada em seguida).
  • A pergunta quer saber se, a partir desse fato isolado, conseguimos garantir que x_{0} é um máximo ou mínimo local.

Passo 2

Definição de ponto crítico (explicação didática): chamamos x_{0} de ponto crítico de f quando uma das duas coisas acontece:
  1. f é diferenciável em x_{0} e \,f'(x_{0})=0, ou
  2. f não é diferenciável em x_{0} (por exemplo, há um “canto” ou cusp no gráfico).
    Em palavras simples: ponto crítico é um ponto onde a derivada é zero ou a derivada não existe. Isso é só uma classificação — ainda não diz se há máximo ou mínimo.

Passo 3

Definição de máximo e mínimo local (passo-a-passo):
  • Dizemos que x_{0} é um máximo local de f se existe um intervalo aberto I contendo x_{0} tal que, para todo x\in I, f(x)\le f(x_{0}).
  • Dizemos que x_{0} é um mínimo local de f se existe um intervalo aberto I contendo x_{0} tal que, para todo x\in I, f(x)\ge f(x_{0}).
    Essas são definições precisas: máximo/minimo local significam que, dentro de alguma vizinhança, f(x_{0}) é maior/menor que os valores próximos.

Passo 4

Uma observação importante (ferramenta que costuma aparecer em provas): se f é diferenciável em x_{0} e x_{0} é um extremum local (máx. ou mín.), então necessariamente \,f'(x_{0})=0. Isso é o teorema de Fermat — vou explicar por que:
  • Suponha x_{0} é mínimo local e f diferenciável em x_{0}. Então existe um intervalo onde f(x)\ge f(x_{0}). Se pegarmos o quociente diferencial à direita,
\frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}
quando x>x_{0} esse quociente é \ge 0 (porque numerador \ge 0 e denominador >0), e quando x<x_{0} o quociente é \le 0. Tomando o limite para x\to x_{0} pela direita e pela esquerda, as duas limites existem e são \ge 0 e \le 0 respectivamente; como a derivada existe, as duas devem ser iguais e então ambas são 0. Logo f'(x_{0})=0. Mesma ideia para máximo local, trocando sinais. Conclusão: ser extremum local (quando diferenciável) implica ser ponto crítico com f'(x_{0})=0. Mas essa implicação é somente numa direção (extremo local ⇒ ponto crítico), não a recíproca.

Passo 5

Mostrando por que a recíproca não vale com um contraexemplo clássico (a parte prática e direta para a prova): considere
f(x)=x^{3}.
Calcule a derivada: f'(x)=3x^{2}. Em x_{0}=0 temos f'(0)=0, então 0 é um ponto crítico. Agora veja os valores perto de 0: para x<0 pequeno temos f(x)=x^{3}<0, e para x>0 pequeno temos f(x)>0. O gráfico passa de negativo para positivo atravessando 0, isto é, não há vizinhança onde f(0) seja maior que todos os vizinhos nem onde seja menor que todos os vizinhos. Portanto 0 não é nem máximo local nem mínimo local. Assim um ponto crítico (no caso f'(0)=0) pode não ser extremum. Esse contraexemplo responde a pergunta principal: não podemos concluir que todo ponto crítico seja máximo ou mínimo local.

Passo 6

Explicação didática sobre como, então, classificar pontos críticos numa prova (o que pedirão depois que você perceber que a resposta é “não”):
  • Teste da mudança de sinal da derivada: se f' muda de sinal de positivo para negativo passando por x_{0}, então x_{0} é máximo local; se muda de negativo para positivo, é mínimo local; se não muda de sinal (por exemplo, permanece positivo ou permanece negativo), então não é extremum.
  • Teste da segunda derivada (quando aplicável): se f''(x_{0}) existe e f''(x_{0})>0\quad\Rightarrow\quad x_{0}\\ \text{é mínimo local},éí
f''(x_{0})<0\quad\Rightarrow\quad x_{0}\\ \text{é máximo local}.éá
Se f''(x_{0})=0, o teste é inconclusivo (pode ser mínimo, máximo ou nenhum — por exemplo, f(x)=x^{4} tem f'(0)=0, f''(0)=0 e 0 é mínimo; já f(x)=x^{3} tem f''(0)=0 e 0 não é extremo).
  • Caso a derivada não exista em x_{0}: às vezes isso indica um canto e pode haver um mínimo (por exemplo f(x)=|x| em 0 tem derivada inexistente e 0 é mínimo local). Mas também não é garantia automática — preciso analisar comportamento à esquerda e à direita.

Passo 7

Resumo e dica de prova/estudo (tom amigável): a resposta direta à pergunta é “não”, e a forma mais rápida de convencer um professor numa prova é:
  1. Dizer que ponto crítico significa f'(x_{0})=0 ou f' não existe.
  2. Explicar que extrema local diferenciável implica f'(x_{0})=0 (Fermat).
  3. Apresentar o contraexemplo f(x)=x^{3} com f'(0)=0 mas sem máximo ou mínimo em 0.
  4. Acrescentar que, para classificar um ponto crítico, use mudança de sinal de f' ou o teste da segunda derivada quando aplicável.
Força aí — o raciocínio é curto: ponto crítico é só um sinal de que algo pode acontecer, mas não garante extrema por si só.

Resposta

Não — nem sempre. Por exemplo, para f(x)=x^{3} temos f'(0)=0 (ponto crítico) mas x=0 não é nem máximo nem mínimo local.

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