( 1,0 pts) (Extra) Seja
e
um ponto crítico de
. Podemos concluir que
é ponto de máximo ou mínimo local de
? Obs: Dizer somente sim ou não sem maiores justificativas não é uma resposta válida.
Passo 1
O enunciado dá: uma função
e um ponto
que é dito ser um ponto crítico de
. A pergunta é: podemos concluir que
é um ponto de máximo ou mínimo local de
? Listei as informações relevantes fornecidas:
-
é uma função real de variável real. -
é um ponto crítico de (a definição exata de “ponto crítico” será explicada em seguida). - A pergunta quer saber se, a partir desse fato isolado, conseguimos garantir que
é um máximo ou mínimo local.
Passo 2
Definição de ponto crítico (explicação didática): chamamos
de ponto crítico de
quando uma das duas coisas acontece:
-
é diferenciável em e , ou -
não é diferenciável em (por exemplo, há um “canto” ou cusp no gráfico).
Em palavras simples: ponto crítico é um ponto onde a derivada é zero ou a derivada não existe. Isso é só uma classificação — ainda não diz se há máximo ou mínimo.
Passo 3
Definição de máximo e mínimo local (passo-a-passo):
- Dizemos que
é um máximo local de se existe um intervalo aberto contendo tal que, para todo , . - Dizemos que
é um mínimo local de se existe um intervalo aberto contendo tal que, para todo , .
Essas são definições precisas: máximo/minimo local significam que, dentro de alguma vizinhança,é maior/menor que os valores próximos.
Passo 4
Uma observação importante (ferramenta que costuma aparecer em provas): se
é diferenciável em
e
é um extremum local (máx. ou mín.), então necessariamente
. Isso é o teorema de Fermat — vou explicar por que:
- Suponha
é mínimo local e diferenciável em . Então existe um intervalo onde . Se pegarmos o quociente diferencial à direita,
quando
esse quociente é
(porque numerador
e denominador
), e quando
o quociente é
. Tomando o limite para
pela direita e pela esquerda, as duas limites existem e são
e
respectivamente; como a derivada existe, as duas devem ser iguais e então ambas são
. Logo
. Mesma ideia para máximo local, trocando sinais. Conclusão: ser extremum local (quando diferenciável) implica ser ponto crítico com
. Mas essa implicação é somente numa direção (extremo local ⇒ ponto crítico), não a recíproca.
Passo 5
Mostrando por que a recíproca não vale com um contraexemplo clássico (a parte prática e direta para a prova): considere
Calcule a derivada:
. Em
temos
, então
é um ponto crítico. Agora veja os valores perto de
: para
pequeno temos
, e para
pequeno temos
. O gráfico passa de negativo para positivo atravessando
, isto é, não há vizinhança onde
seja maior que todos os vizinhos nem onde seja menor que todos os vizinhos. Portanto
não é nem máximo local nem mínimo local. Assim um ponto crítico (no caso
) pode não ser extremum. Esse contraexemplo responde a pergunta principal: não podemos concluir que todo ponto crítico seja máximo ou mínimo local.
Passo 6
Explicação didática sobre como, então, classificar pontos críticos numa prova (o que pedirão depois que você perceber que a resposta é “não”):
- Teste da mudança de sinal da derivada: se
muda de sinal de positivo para negativo passando por , então é máximo local; se muda de negativo para positivo, é mínimo local; se não muda de sinal (por exemplo, permanece positivo ou permanece negativo), então não é extremum. - Teste da segunda derivada (quando aplicável): se
existe e
Se
, o teste é inconclusivo (pode ser mínimo, máximo ou nenhum — por exemplo,
tem
,
e
é mínimo; já
tem
e
não é extremo).
- Caso a derivada não exista em
: às vezes isso indica um canto e pode haver um mínimo (por exemplo em tem derivada inexistente e é mínimo local). Mas também não é garantia automática — preciso analisar comportamento à esquerda e à direita.
Passo 7
Resumo e dica de prova/estudo (tom amigável): a resposta direta à pergunta é “não”, e a forma mais rápida de convencer um professor numa prova é:
- Dizer que ponto crítico significa
ou não existe. - Explicar que extrema local diferenciável implica
(Fermat). - Apresentar o contraexemplo
com mas sem máximo ou mínimo em . - Acrescentar que, para classificar um ponto crítico, use mudança de sinal de
ou o teste da segunda derivada quando aplicável.
Força aí — o raciocínio é curto: ponto crítico é só um sinal de que algo pode acontecer, mas não garante extrema por si só.
Resposta
Não — nem sempre. Por exemplo, para
temos
(ponto crítico) mas
não é nem máximo nem mínimo local.