Resolva as seguintes integrais
\int_{0}^{1} 4 x^{3} \sin \left(x^{4}\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{0}^{1} 4 x^{3} \sin \left(x^{4}\right) d x.
Informações fornecidas:
  • O intervalo de integração é de \,0 a \,1.
  • A função integranda é 4 x^{3} \sin\!\left(x^{4}\right).
    A pergunta é: qual é o valor dessa integral definida?

Passo 2

Vamos usar a técnica de substituição (substituição simples). Ideia geral da técnica:
  • Se houver uma composição f(g(x)) multiplicada por g'(x), isto é, uma integral do tipo \int f(g(x))\,g'(x)\,dx, então pode-se fazer a mudança de variável \;u=g(x)\; e obter \int f(u)\,du.
    Explicando com calma: a variável u substitui a parte interna da função composta e du substitui g'(x)\,dx. Isso transforma a integral para uma forma mais direta de integrar.
No nosso caso observe que a parte interna é x^{4} e a derivada de x^{4} em relação a x é 4x^{3}, que aparece multiplicando \sin(x^{4}). Portanto a substituição natural é
u = x^{4}.

Passo 3

Calcular du e transformar o diferencial e os limites:
du = \frac{d}{dx}\big(x^{4}\big)\,dx = 4x^{3}\,dx.
Logo \,4x^{3}\,dx = du.
Transformar os limites usando \;u=x^{4}\;:
  • Quando x=0, u=0^{4}=0.
  • Quando x=1, u=1^{4}=1.
Substituindo na integral original obtemos (agora em função de u):
\int_{0}^{1} 4 x^{3} \sin\!\left(x^{4}\right) d x = \int_{0}^{1} \sin(u)\,du.

Passo 4

Calcular a integral em u. Sabendo a primitiva de \sin(u):
  • A derivada de \cos(u) é -\sin(u), portanto uma primitiva de \sin(u) é -\cos(u). Em notação:
\int \sin(u)\,du = -\cos(u) + C,
onde C é a constante de integração.
Como estamos fazendo uma integral definida:
\int_{0}^{1} \sin(u)\,du = \big[-\cos(u)\big]_{0}^{1} = -\cos(1) - \big(-\cos(0)\big).
Sabendo que \cos(0)=1, isso simplifica para
-\cos(1) + 1 = 1 - \cos(1).

Passo 5

Interpretação final e aproximação numérica (para intuição): o resultado exato é 1-\cos(1). Numericamente,
\cos(1)\approx 0{,}5403023059,
portanto
1-\cos(1)\approx 0{,}4596976941.
Mas a forma exata e mais elegante para a resposta é 1-\cos(1).

Resposta

1-\cos(1)

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