Resolva as seguintes integrais
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral definida
Informações fornecidas:
- O intervalo de integração é de
a . - A função integranda é
.
A pergunta é: qual é o valor dessa integral definida?
Passo 2
Vamos usar a técnica de substituição (substituição simples). Ideia geral da técnica:
- Se houver uma composição
multiplicada por , isto é, uma integral do tipo , então pode-se fazer a mudança de variável e obter .
Explicando com calma: a variávelsubstitui a parte interna da função composta e substitui . Isso transforma a integral para uma forma mais direta de integrar.
No nosso caso observe que a parte interna é
e a derivada de
em relação a
é
, que aparece multiplicando
. Portanto a substituição natural é
Passo 3
Calcular
e transformar o diferencial e os limites:
Logo
.
Transformar os limites usando
:
- Quando
, . - Quando
, .
Substituindo na integral original obtemos (agora em função de
):
Passo 4
Calcular a integral em
. Sabendo a primitiva de
:
- A derivada de
é , portanto uma primitiva de é . Em notação:
onde
é a constante de integração.
Como estamos fazendo uma integral definida:
Sabendo que
, isso simplifica para
Passo 5
Interpretação final e aproximação numérica (para intuição): o resultado exato é
. Numericamente,
portanto
Mas a forma exata e mais elegante para a resposta é
.