Resolva as seguintes integrais
\int 12 x e^{6 x^{2}} d x

Passo 1

O que o problema pede e o que temos: calcular a integral
\int 12 x e^{6 x^{2}}\, d x.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A integranda é 12 x e^{6 x^{2}}.
  • A variável de integração é x.
  • Queremos uma primitiva (antiderivada) dessa função, isto é, uma função F(x) tal que F'(x)=12 x e^{6 x^{2}}.

Passo 2

Observação estratégica (por que escolher o método): o expoente do exponencial é 6 x^{2}. Quando um integrando tem uma função composta do tipo e^{g(x)} multiplicada por algo que lembra g'(x), uma boa ideia é fazer a substituição u=g(x). Aqui g(x)=6 x^{2}. Vamos testar essa substituição porque a derivada de 6 x^{2} é 12 x, exatamente o fator que multiplica e^{6 x^{2}}.

Passo 3

Faça a substituição:
u = 6 x^{2}.
Calcule du:
du = \frac{d}{dx}\bigl(6 x^{2}\bigr)\,dx = 12 x\, dx.
Portanto 12 x\,dx = du. Note que trocamos exatamente o fator 12 x\,dx presente na integral por du.

Passo 4

Reescreva a integral em u. Substituindo u e du na integral original:
\int 12 x e^{6 x^{2}}\, dx = \int e^{u}\, du.
Agora a integral ficou muito simples: é a integral da função exponencial.

Passo 5

Integrando em u: a primitiva de e^{u} é e^{u}, pois \dfrac{d}{du}e^{u}=e^{u}. Logo
\int e^{u}\, du = e^{u} + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 6

Volte para a variável x substituindo u=6 x^{2}:
e^{u}+C = e^{6 x^{2}} + C.
Podemos fazer uma verificação rápida: derivando \,e^{6 x^{2}}+C\, obtemos
\frac{d}{dx}\bigl(e^{6 x^{2}}+C\bigr)=e^{6 x^{2}}\cdot(12 x)=12 x e^{6 x^{2}},
que é exatamente a integranda, então a primitiva está correta.

Resposta

\displaystyle e^{6 x^{2}} + C

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