Resolva as seguintes integrais usando as mudanças de variáveis. Confirme sua resposta derivando a primitiva e encontrando a função integranda.
\int \frac{\operatorname{sen}(3 x)}{\sqrt[3]{\cos ^{4}(3 x)}} d x

Passo 1

O que o enunciado pede e o que temos: calcular a primitiva (integração indefinida) da função
\frac{\operatorname{sen}(3x)}{\sqrt[3]{\cos^{4}(3x)}}
ou, reescrevendo a potência, a integral
\int \frac{\operatorname{sen}(3x)}{\sqrt[3]{\cos^{4}(3x)}}\,dx=\int \operatorname{sen}(3x)\,\cos^{-4/3}(3x)\,dx.
Quer-se uma primitiva explícita e confirmar a resposta derivando-a para recuperar a integranda.

Passo 2

Escolhendo a mudança de variável: observe que a função contém \cos(3x) elevada a uma potência e também aparece \operatorname{sen}(3x)\,dx. Isso sugere a substituição
u=\cos(3x),
porque a derivada de u envolve exatamente \operatorname{sen}(3x)\,dx (pelo regra da cadeia).
Calcule du: derivando u=\cos(3x) em relação a x,
du = -3\operatorname{sen}(3x)\,dx.
Isolando \operatorname{sen}(3x)\,dx obtemos
\operatorname{sen}(3x)\,dx = -\frac{1}{3}\,du.

Passo 3

Aplicando a substituição na integral original: substituir \cos(3x) por u e \operatorname{sen}(3x)\,dx por -\dfrac{1}{3}du. Então
\int \operatorname{sen}(3x)\,\cos^{-4/3}(3x)\,dx = \int \left(-\frac{1}{3}\right) u^{-4/3}\,du.
Factor constante para fora:
= -\frac{1}{3}\int u^{-4/3}\,du.

Passo 4

Integrando usando a regra da potência: a fórmula básica é
\int u^{n}\,du = \frac{u^{n+1}}{n+1}+C,\qquad n\neq -1.
Aqui n=-\tfrac{4}{3}, então n+1=-\tfrac{1}{3}. Aplicando:
-\frac{1}{3}\int u^{-4/3}\,du = -\frac{1}{3}\cdot\frac{u^{-1/3}}{-1/3}+C.
Calcule o fator:
-\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{-1/3} = -\frac{1}{3}\cdot(-3)=1,
logo o resultado da integração em u é simplesmente
u^{-1/3}+C.

Passo 5

Voltando à variável x (substituindo u=\cos(3x)): a primitiva encontrada é
\cos^{-1/3}(3x)+C
ou, equivalentemente,
\frac{1}{\sqrt[3]{\cos(3x)}}+C.
Observação rápida sobre domínio: essa primitiva está bem definida onde \cos(3x)\neq 0 (caso contrário a expressão tem singularidade).

Passo 6

Confirmação por diferenciação (verificação): derivar \cos^{-1/3}(3x) e ver se voltamos à integranda.
Usando a regra da cadeia e a regra da potência:
\frac{d}{dx}\cos^{-1/3}(3x) = -\frac{1}{3}\cos^{-4/3}(3x)\cdot\frac{d}{dx}\bigl(\cos(3x)\bigr).
Mas \dfrac{d}{dx}\cos(3x)=-3\operatorname{sen}(3x). Substituindo:
\frac{d}{dx}\cos^{-1/3}(3x) = -\frac{1}{3}\cos^{-4/3}(3x)\cdot(-3\operatorname{sen}(3x)) = \operatorname{sen}(3x)\,\cos^{-4/3}(3x).
Isso é exatamente a integranda original, portanto a primitiva está correta.

Resposta

\dfrac{1}{\sqrt[3]{\cos(3x)}}+C

Exercícios relacionados