Resolva as seguintes integrais usando as mudanças de variáveis. Confirme sua resposta derivando a primitiva e encontrando a função integranda.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que temos: calcular a primitiva (integração indefinida) da função
ou, reescrevendo a potência, a integral
Quer-se uma primitiva explícita e confirmar a resposta derivando-a para recuperar a integranda.
Passo 2
Escolhendo a mudança de variável: observe que a função contém
elevada a uma potência e também aparece
. Isso sugere a substituição
porque a derivada de
envolve exatamente
(pelo regra da cadeia).
Calcule
: derivando
em relação a
,
Isolando
obtemos
Passo 3
Aplicando a substituição na integral original: substituir
por
e
por
. Então
Factor constante para fora:
Passo 4
Integrando usando a regra da potência: a fórmula básica é
Aqui
, então
. Aplicando:
Calcule o fator:
logo o resultado da integração em
é simplesmente
Passo 5
Voltando à variável
(substituindo
): a primitiva encontrada é
ou, equivalentemente,
Observação rápida sobre domínio: essa primitiva está bem definida onde
(caso contrário a expressão tem singularidade).
Passo 6
Confirmação por diferenciação (verificação): derivar
e ver se voltamos à integranda.
Usando a regra da cadeia e a regra da potência:
Mas
. Substituindo:
Isso é exatamente a integranda original, portanto a primitiva está correta.