Resolva as seguintes integrais usando as mudanças de variáveis. Confirme sua resposta derivando a primitiva e encontrando a função integranda. \int \frac{4 x}{3 x^{2}+4} d x
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral
\int \frac{4 x}{3 x^{2}+4}\,d x,
utilizando mudanças de variáveis, e em seguida confirmar a resposta derivando a primitiva obtida e verificando que sua derivada é igual à função integranda. As informações dadas são apenas a expressão do integrando e o diferencial d x.
Passo 2
Observação útil antes de escolher a substituição: muitas integrais com uma expressão racional onde o numerador é um polinômio simples e o denominador é outro polinômio sugerem tentar uma substituição do tipo u= (denominador), porque a derivada do denominador pode aparecer (proporcionalmente) no numerador. Vamos calcular a derivada do denominador para ver se isso acontece aqui.
Calcular a derivada de \,3 x^{2}+4 em relação a x:
\frac{d}{d x}\left(3 x^{2}+4\right)=6 x.
Esse resultado mostra que a derivada do denominador é 6x, e no numerador temos 4x. Portanto dá para relacionar 4x\,d x com d(3x^{2}+4) por um fator constante — isso torna a substituição u=3x^{2}+4 uma boa escolha.
Passo 3
Fazer a substituição. Defina
u=3 x^{2}+4.
Então
d u=\frac{d}{d x}\bigl(3 x^{2}+4\bigr)\,d x=6 x\,d x.
Isolando x\,d x e, em seguida, 4x\,d x, obtemos
x\,d x=\frac{d u}{6}, \qquad 4x\,d x=4\cdot\frac{d u}{6}=\frac{2}{3}\,d u.
Substituindo na integral original:
\int \frac{4 x}{3 x^{2}+4}\,d x = \int \frac{\frac{2}{3}\,d u}{u} = \frac{2}{3}\int \frac{1}{u}\,d u.
Passo 4
Integrar em u. Usamos a primitiva básica
\int \frac{1}{u}\,d u=\ln|u|+C,
onde C é constante de integração e o valor absoluto aparece porque \ln exige argumento positivo em definição real. Assim
Aqui f(x)=3x^{2}+4 e f'(x)=6x; como o numerador era 4x, ficou apenas um fator constante que foi tirado da integral, e isso é exatamente o que fizemos acima. Um exemplo similar rápido: \int \dfrac{2x}{x^{2}+1}\,d x=\ln\bigl(x^{2}+1\bigr)+C.