Resolva as seguintes integrais usando as mudanças de variáveis. Confirme sua resposta derivando a primitiva e encontrando a função integranda.
\int \frac{4 x}{3 x^{2}+4} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \frac{4 x}{3 x^{2}+4}\,d x,
utilizando mudanças de variáveis, e em seguida confirmar a resposta derivando a primitiva obtida e verificando que sua derivada é igual à função integranda. As informações dadas são apenas a expressão do integrando e o diferencial d x.

Passo 2

Observação útil antes de escolher a substituição: muitas integrais com uma expressão racional onde o numerador é um polinômio simples e o denominador é outro polinômio sugerem tentar uma substituição do tipo u= (denominador), porque a derivada do denominador pode aparecer (proporcionalmente) no numerador. Vamos calcular a derivada do denominador para ver se isso acontece aqui.
Calcular a derivada de \,3 x^{2}+4 em relação a x:
\frac{d}{d x}\left(3 x^{2}+4\right)=6 x.
Esse resultado mostra que a derivada do denominador é 6x, e no numerador temos 4x. Portanto dá para relacionar 4x\,d x com d(3x^{2}+4) por um fator constante — isso torna a substituição u=3x^{2}+4 uma boa escolha.

Passo 3

Fazer a substituição. Defina
u=3 x^{2}+4.
Então
d u=\frac{d}{d x}\bigl(3 x^{2}+4\bigr)\,d x=6 x\,d x.
Isolando x\,d x e, em seguida, 4x\,d x, obtemos
x\,d x=\frac{d u}{6}, \qquad 4x\,d x=4\cdot\frac{d u}{6}=\frac{2}{3}\,d u.
Substituindo na integral original:
\int \frac{4 x}{3 x^{2}+4}\,d x = \int \frac{\frac{2}{3}\,d u}{u} = \frac{2}{3}\int \frac{1}{u}\,d u.

Passo 4

Integrar em u. Usamos a primitiva básica
\int \frac{1}{u}\,d u=\ln|u|+C,
onde C é constante de integração e o valor absoluto aparece porque \ln exige argumento positivo em definição real. Assim
\frac{2}{3}\int \frac{1}{u}\,d u=\frac{2}{3}\ln|u|+C.

Passo 5

Voltar para a variável x (substituição inversa). Como u=3 x^{2}+4, obtemos a primitiva em x:
F(x)=\frac{2}{3}\ln\bigl|3 x^{2}+4\bigr|+C.
Nota: para todo x vale 3 x^{2}+4>0, então o valor absoluto é desnecessário e podemos escrever
F(x)=\frac{2}{3}\ln\bigl(3 x^{2}+4\bigr)+C.

Passo 6

Confirmar derivando a primitiva encontrada e verificando que a derivada é o integrando. Calcular F'(x) aplicando a regra da cadeia:
F'(x)=\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{3 x^{2}+4}\cdot\frac{d}{d x}\bigl(3 x^{2}+4\bigr) = \frac{2}{3}\cdot\frac{1}{3 x^{2}+4}\cdot 6 x.
Fazendo as simplificações:
F'(x)=\frac{2\cdot 6 x}{3\bigl(3 x^{2}+4\bigr)}=\frac{12 x}{3\bigl(3 x^{2}+4\bigr)}=\frac{4 x}{3 x^{2}+4},
que coincide exatamente com a função integranda. Portanto a primitiva está correta.

Passo 7

Dica rápida para prova: uma fórmula geral e muito útil é
\int \frac{f'(x)}{f(x)}\,d x=\ln\bigl|f(x)\bigr|+C.
Aqui f(x)=3x^{2}+4 e f'(x)=6x; como o numerador era 4x, ficou apenas um fator constante que foi tirado da integral, e isso é exatamente o que fizemos acima. Um exemplo similar rápido: \int \dfrac{2x}{x^{2}+1}\,d x=\ln\bigl(x^{2}+1\bigr)+C.

Resposta

\displaystyle \frac{2}{3}\ln\bigl(3 x^{2}+4\bigr)+C

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