Resolva os seguintes problemas de derivadas parciais:
Seja
t(x, y)=\sqrt{x{2}+y{2}}. Encontre tx e ty para (x, y) \neq(0,0).
Seja
t(x, y)=\sqrt{x{2}+y{2}}. Encontre tx e ty para (x, y) \neq(0,0).
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para encontrar as derivadas parciais
e
no ponto
quando
. As informações relevantes: a função está definida para todos os
com
e o pedido exclui explicitamente o ponto
.
Passo 2
O que significa calcular uma derivada parcial? A derivada parcial
é a taxa de variação de
quando variamos
e mantemos
fixo. Em fórmulas:
e de forma análoga para
variando
e mantendo
fixo. Vou usar essa ideia junto com regras de diferenciação (cadeia e potência) para fazer as contas de um jeito prático.
Passo 3
Primeiro é útil reescrever a função como potência:
Agora vou usar a regra da cadeia: se
com
, então
A derivada exterior
é
. A seguir calculo
.
Passo 4
Calculo de
com
: derivando em relação a
mantendo
fixo, a derivada de
é
e a de
é
. Logo
Substituindo na regra da cadeia:
Voltando a
, obtemos
Passo 5
Agora faço o mesmo para
. Usando
e a regra da cadeia,
portanto
Passo 6
Comentário interpretativo (útil para a prova):
. Se escrevermos
, então
, que é o vetor unitário radial — faz sentido:
mede a distância ao origem, e o gradiente aponta radialmente com norma
. Observação final: as expressões acima exigem
, por isso excluímos
. Se tentar calcular a derivada parcial no ponto
via limite, verá que não existe porque os quocientes de diferença dão sinais diferentes ao aproximar por
ou
.