Resolva os seguintes problemas de derivadas parciais:
Seja
t(x, y)=\sqrt{x{2}+y{2}}. Encontre tx e ty para (x, y) \neq(0,0).

Passo 1

O enunciado dá a função
t(x,y)=\sqrt{x^{2}+y^{2}}
e pede para encontrar as derivadas parciais t_x e t_y no ponto (x,y) quando (x,y)\neq(0,0). As informações relevantes: a função está definida para todos os (x,y) com x^{2}+y^{2}\ge 0 e o pedido exclui explicitamente o ponto (0,0).

Passo 2

O que significa calcular uma derivada parcial? A derivada parcial t_x(x,y) é a taxa de variação de t quando variamos x e mantemos y fixo. Em fórmulas:
t_x(x,y)=\lim_{h\to 0}\frac{t(x+h,y)-t(x,y)}{h},
e de forma análoga para t_y variando y e mantendo x fixo. Vou usar essa ideia junto com regras de diferenciação (cadeia e potência) para fazer as contas de um jeito prático.

Passo 3

Primeiro é útil reescrever a função como potência:
t(x,y)=(x^{2}+y^{2})^{1/2}.
Agora vou usar a regra da cadeia: se t(u)=u^{1/2} com u=u(x,y)=x^{2}+y^{2}, então
\frac{\partial}{\partial x}t(x,y)=\frac{d}{du}\big(u^{1/2}\big)\cdot \frac{\partial u}{\partial x}.
A derivada exterior \dfrac{d}{du}u^{1/2} é \dfrac{1}{2}u^{-1/2}. A seguir calculo \dfrac{\partial u}{\partial x}.

Passo 4

Calculo de \dfrac{\partial u}{\partial x} com u(x,y)=x^{2}+y^{2}: derivando em relação a x mantendo y fixo, a derivada de x^{2} é 2x e a de y^{2} é 0. Logo
\frac{\partial u}{\partial x}=2x.
Substituindo na regra da cadeia:
t_x(x,y)=\frac{1}{2}u^{-1/2}\cdot 2x = x\,u^{-1/2}.
Voltando a u=x^{2}+y^{2}, obtemos
t_x(x,y)=\frac{x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}},\qquad (x,y)\neq(0,0).

Passo 5

Agora faço o mesmo para t_y. Usando u(x,y)=x^{2}+y^{2} e a regra da cadeia,
\frac{\partial u}{\partial y}=2y,
portanto
t_y(x,y)=\frac{1}{2}u^{-1/2}\cdot 2y = \frac{y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}},\qquad (x,y)\neq(0,0).

Passo 6

Comentário interpretativo (útil para a prova): \nabla t(x,y)=(t_x,t_y)=\big(\dfrac{x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}},\dfrac{y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}\big). Se escrevermos r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}, então \nabla t=(x/r,y/r), que é o vetor unitário radial — faz sentido: t mede a distância ao origem, e o gradiente aponta radialmente com norma 1. Observação final: as expressões acima exigem r>0, por isso excluímos (0,0). Se tentar calcular a derivada parcial no ponto (0,0) via limite, verá que não existe porque os quocientes de diferença dão sinais diferentes ao aproximar por h>0 ou h<0.

Resposta

t_x(x,y)=\dfrac{x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} para (x,y)\neq(0,0).
t_y(x,y)=\dfrac{y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} para (x,y)\neq(0,0).

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