Resolva os seguintes Problemas de valor inicial:
y^{\prime \prime}+4 y^{\prime}+3 y=0 \quad y(0)=2, y^{\prime}(0)=-1

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial e as condições iniciais abaixo; o que pede é a solução do problema de valor inicial:
y'' + 4y' + 3y = 0,
y(0) = 2,\quad y'(0) = -1.
Lista das informações relevantes:
  • A equação é homogênea e tem coeficientes constantes.
  • As condições iniciais são y(0)=2 e y'(0)=-1.
  • Precisamos encontrar y(x) que satisfaça a equação e essas condições.

Passo 2

Estratégia geral (explicação didática): para equações lineares homogêneas com coeficientes constantes, uma boa tentativa é procurar soluções da forma y=e^{rx}, porque derivando e^{rx} cada derivada traz apenas um fator r, transformando a equação diferencial em uma equação algébrica para r. Vou mostrar isso passo a passo.

Passo 3

Substituição da tentativa y=e^{rx}. Se y=e^{rx}, então
y' = r e^{rx},\qquad y'' = r^2 e^{rx}.
Substituindo na equação diferencial:
r^2 e^{rx} + 4 r e^{rx} + 3 e^{rx} = 0.
Como e^{rx}\neq 0 para todo x, podemos dividir por e^{rx} e obter a equação característica
r^2 + 4r + 3 = 0.

Passo 4

Resolvendo a equação característica. A equação
r^2 + 4r + 3 = 0
fatora como
(r+1)(r+3)=0,
portanto as raízes são r=-1 e r=-3. Como são duas raízes reais distintas, a forma geral da solução da equação diferencial é combinação linear das exponenciais correspondentes:
y(x) = C_1 e^{-x} + C_2 e^{-3x},
onde C_1 e C_2 são constantes a determinar pelas condições iniciais.

Passo 5

Calcular a derivada de y(x) para usar a condição y'(0). Derivando termo a termo:
y'(x) = -C_1 e^{-x} - 3 C_2 e^{-3x}.
Expliquei: a derivada de e^{ax} é a e^{ax}; aqui a=-1 no primeiro termo e a=-3 no segundo.

Passo 6

Aplicar as condições iniciais para obter um sistema linear em C_1 e C_2.
Usando y(0)=2:
y(0) = C_1 e^{0} + C_2 e^{0} = C_1 + C_2 = 2.
Usando y'(0)=-1:
y'(0) = -C_1 e^{0} - 3 C_2 e^{0} = -C_1 - 3C_2 = -1.
Logo temos o sistema
\begin{cases} C_1 + C_2 = 2,\\[4pt] - C_1 - 3 C_2 = -1. \end{cases}]

Passo 7

Resolver o sistema para encontrar C_1 e C_2. Somando as duas equações para eliminar C_1:
(C_1 + C_2) + (-C_1 - 3C_2) = 2 + (-1).
Isso dá
-2 C_2 = 1 \quad\Rightarrow\quad C_2 = -\tfrac{1}{2}.
Substituindo C_2 em C_1 + C_2 = 2:
C_1 = 2 - C_2 = 2 - \bigl(-\tfrac{1}{2}\bigr) = 2 + \tfrac{1}{2} = \tfrac{5}{2}.
Portanto C_1 = \tfrac{5}{2} e C_2 = -\tfrac{1}{2}.

Passo 8

Escrever a solução particular do problema de valor inicial e verificar rapidamente as condições iniciais.
A solução é
y(x) = \tfrac{5}{2} e^{-x} - \tfrac{1}{2} e^{-3x}.
Verificação rápida:
y(0) = \tfrac{5}{2} - \tfrac{1}{2} = 2,
y'(x) = -\tfrac{5}{2} e^{-x} + \tfrac{3}{2} e^{-3x}\quad\Rightarrow\quad y'(0) = -\tfrac{5}{2} + \tfrac{3}{2} = -1,
como exigido.

Resposta

y(x)=\tfrac{5}{2}e^{-x}-\tfrac{1}{2}e^{-3x}

Exercícios relacionados