Resolva os seguintes Problemas de valor inicial:
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial e as condições iniciais abaixo; o que pede é a solução do problema de valor inicial:
Lista das informações relevantes:
- A equação é homogênea e tem coeficientes constantes.
- As condições iniciais são
e . - Precisamos encontrar
que satisfaça a equação e essas condições.
Passo 2
Estratégia geral (explicação didática): para equações lineares homogêneas com coeficientes constantes, uma boa tentativa é procurar soluções da forma
, porque derivando
cada derivada traz apenas um fator
, transformando a equação diferencial em uma equação algébrica para
. Vou mostrar isso passo a passo.
Passo 3
Substituição da tentativa
. Se
, então
Substituindo na equação diferencial:
Como
para todo
, podemos dividir por
e obter a equação característica
Passo 4
Resolvendo a equação característica. A equação
fatora como
portanto as raízes são
e
. Como são duas raízes reais distintas, a forma geral da solução da equação diferencial é combinação linear das exponenciais correspondentes:
onde
e
são constantes a determinar pelas condições iniciais.
Passo 5
Calcular a derivada de
para usar a condição
. Derivando termo a termo:
Expliquei: a derivada de
é
; aqui
no primeiro termo e
no segundo.
Passo 6
Aplicar as condições iniciais para obter um sistema linear em
e
.
Usando
:
Usando
:
Logo temos o sistema
Passo 7
Resolver o sistema para encontrar
e
. Somando as duas equações para eliminar
:
Isso dá
Substituindo
em
:
Portanto
e
.
Passo 8
Escrever a solução particular do problema de valor inicial e verificar rapidamente as condições iniciais.
A solução é
Verificação rápida:
como exigido.