Resolva os seguintes problemas de valor inicial. Nos problemas de segunda ordem use a substituição
Passo 1
O problema nos dá a equação diferencial com condição inicial:
O que se pede: encontrar a função
que satisfaz a equação diferencial e a condição inicial dada. Informações relevantes fornecidas:
- A equação é explícita em
e contém os fatores e . - A condição inicial é o valor de
em . - Deve-se ter cuidado com pontos onde
, pois a solução pode não estar definida nesses pontos.
Passo 2
Vamos olhar a parte esquerda da equação e usar a regra do produto (lembrando como ela funciona): para duas funções
e
,
Escolhendo
e
, temos
Portanto a parte esquerda da ODE é exatamente a derivada de
. Assim podemos reescrever a equação como
Isso simplifica muito a resolução: reduzimos a ODE a uma igualdade entre uma derivada e
.
Passo 3
Integrando ambos os lados em relação a
, obtemos
onde
é a constante de integração. Aqui apareceu
porque integrar uma derivada dá a função original mais uma constante arbitrária.
Passo 4
Isolando
da expressão anterior, obtemos a solução geral (válida onde
):
Observação importante sobre domínio: a solução só está bem definida quando
. Como a condição inicial está em
(onde
), podemos trabalhar em um intervalo que contenha
e onde
mantém sinal (por exemplo
) — aí não há problema com o denominador.
Passo 5
Aplicamos a condição inicial
. Substituindo na solução geral:
Como
, isso dá
Passo 6
Substituindo
na solução geral, a solução particular que satisfaz a condição inicial é
Podemos reescrever de formas equivalentes, por exemplo
Passo 7
Verificação rápida (para dar confiança): usando que
, derivando ambos os lados obtém-se
, que é exatamente a equação original. A condição inicial foi satisfeita por construção. Lembre-se: a solução está definida em intervalos onde
; a solução encontrada é válida no intervalo que contém
, por exemplo
.