Resolva os seguintes problemas de valor inicial. Nos problemas de segunda ordem use a substituição z=y^{\prime} ;
e^{-x} y^{\prime}+2 e^{x} y=e^{x} ; \quad y(0)=\frac{1}{2}+\frac{1}{e}

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede (sem resolver ainda).
  • Equação diferencial dada: e^{-x}y^{\prime}+2e^{x}y=e^{x}.
  • Condição inicial: y(0)=\tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{e}.
  • O problema pede resolver o problema de valor inicial: encontrar a função y(x) que satisfaz a equação diferencial e a condição inicial.

Passo 2

Colocar a equação numa forma padrão de equação linear de primeira ordem. Para isso multiplico ambos os lados por e^{x} (pois e^{-x} está multiplicando y'):
e^{x}\big(e^{-x}y^{\prime}+2e^{x}y\big)=e^{x}\cdot e^{x}.
Fazendo as multiplicações obtemos
y^{\prime}+2e^{2x}y=e^{2x}.
Agora a equação está na forma padrão \,y^{\prime}+p(x)y=q(x)\, com p(x)=2e^{2x} e q(x)=e^{2x}.

Passo 3

Pequena aula: método do fator integrante (o jeito mais direto para equações lineares de primeira ordem).
  • Para uma equação da forma \,y^{\prime}+p(x)y=q(x)\,, define-se o fator integrante \mu(x)=\exp\!\Big(\int p(x)\,dx\Big).
  • A razão disso: \mu y tem derivada (\mu y)^{\prime}=\mu y^{\prime}+\mu' y=\mu y^{\prime}+\big(\mu p\big)y=\mu\big(y^{\prime}+p y\big).Assim multiplicando a equação original por \mu a esquerda fica exatamente (\mu y)^{\prime} e a direita fica \mu q. Isso transforma a EDO numa equação integrável: (\mu y)^{\prime}=\mu q.

Passo 4

Calcular o fator integrante \mu(x). Aqui p(x)=2e^{2x}, então
\int p(x)\,dx=\int 2e^{2x}\,dx.
Para integrar \int 2e^{2x}\,dx note que \frac{d}{dx}(e^{2x})=2e^{2x}, logo
\int 2e^{2x}\,dx=e^{2x}.
Portanto
\mu(x)=\exp\big(e^{2x}\big)=e^{e^{2x}}.

Passo 5

Multiplicar a equação padrão por \mu(x). Temos
e^{e^{2x}}\big(y^{\prime}+2e^{2x}y\big)=e^{e^{2x}}e^{2x}.
Pelo motivo explicado no passo anterior, o lado esquerdo é a derivada de \mu y:
\big(e^{e^{2x}}y\big)^{\prime}=e^{e^{2x}}e^{2x}.
Agora integramos ambos os lados em relação a x.

Passo 6

Integrar:
e^{e^{2x}}y=\int e^{e^{2x}}e^{2x}\,dx + C.
Para computar a integral \int e^{e^{2x}}e^{2x}\,dx faço a substituição u=e^{2x}. Então du=2e^{2x}\,dx, isto é e^{2x}\,dx=\tfrac{1}{2}\,du. Assim
\int e^{e^{2x}}e^{2x}\,dx=\int e^{u}\cdot\frac{1}{2}\,du=\frac{1}{2}e^{u}+\text{const}=\frac{1}{2}e^{e^{2x}}+\text{const}.
Logo da integração obtemos
e^{e^{2x}}y=\frac{1}{2}e^{e^{2x}}+C,
onde C é constante de integração.

Passo 7

Isolar y. Dividindo ambos os lados por e^{e^{2x}} (sempre positivo, então pode dividir):
y=\frac{1}{2}+C e^{-e^{2x}}.
Essa é a solução geral da equação diferencial (antes de aplicar a condição inicial).

Passo 8

Usar a condição inicial para determinar C. Avaliando em x=0:
  • Primeiro calcule e^{2x} em x=0: e^{2\cdot 0}=e^{0}=1.
  • Substituindo em y:
y(0)=\frac{1}{2}+C e^{-e^{0}}=\frac{1}{2}+C e^{-1}.
Mas a condição inicial diz que y(0)=\tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{e}. Igualando:
\frac{1}{2}+C e^{-1}=\frac{1}{2}+\frac{1}{e}.
Subtraindo \tfrac{1}{2} de ambos os lados:
C e^{-1}=\frac{1}{e}.
Multiplicando por e obtemos C=1.

Passo 9

Substituindo C=1 na solução geral, a solução do problema de valor inicial é
y(x)=\frac{1}{2}+e^{-e^{2x}}.
Força aí — a técnica do fator integrante é poderosa e, com prática, fica tranquila de aplicar na prova!

Resposta

y(x)=\frac{1}{2}+e^{-e^{2x}}.

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