Resolva os seguintes problemas de valor inicial. Nos problemas de segunda ordem use a substituição
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede (sem resolver ainda).
- Equação diferencial dada:
- Condição inicial:
- O problema pede resolver o problema de valor inicial: encontrar a função
que satisfaz a equação diferencial e a condição inicial.
Passo 2
Colocar a equação numa forma padrão de equação linear de primeira ordem. Para isso multiplico ambos os lados por
(pois
está multiplicando
):
Fazendo as multiplicações obtemos
Agora a equação está na forma padrão
com
e
.
Passo 3
Pequena aula: método do fator integrante (o jeito mais direto para equações lineares de primeira ordem).
- Para uma equação da forma
, define-se o fator integrante - A razão disso:
tem derivada Assim multiplicando a equação original por a esquerda fica exatamente e a direita fica . Isso transforma a EDO numa equação integrável: .
Passo 4
Calcular o fator integrante
. Aqui
, então
Para integrar
note que
, logo
Portanto
Passo 5
Multiplicar a equação padrão por
. Temos
Pelo motivo explicado no passo anterior, o lado esquerdo é a derivada de
:
Agora integramos ambos os lados em relação a
.
Passo 6
Integrar:
Para computar a integral
faço a substituição
. Então
, isto é
. Assim
Logo da integração obtemos
onde
é constante de integração.
Passo 7
Isolar
. Dividindo ambos os lados por
(sempre positivo, então pode dividir):
Essa é a solução geral da equação diferencial (antes de aplicar a condição inicial).
Passo 8
Usar a condição inicial para determinar
. Avaliando em
:
- Primeiro calcule
em : . - Substituindo em
:
Mas a condição inicial diz que
. Igualando:
Subtraindo
de ambos os lados:
Multiplicando por
obtemos
.
Passo 9
Substituindo
na solução geral, a solução do problema de valor inicial é
Força aí — a técnica do fator integrante é poderosa e, com prática, fica tranquila de aplicar na prova!