Resolva os seguintes Problemas de Valor Inicial (PVIs):
\frac{d y}{d t}=e^{t} \cdot \operatorname{sen}\left(e^{t}-2\right), y(\ln 2)=0.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o PVI
\frac{dy}{dt} = e^{t}\,\sin\!\bigl(e^{t}-2\bigr),\quad y(\ln 2)=0.
O conteúdo aqui é reconhecer que e^{t} é a derivada de e^{t}-2 e, assim, usar uma substituição do tipo u=e^{t}-2.

Passo 2

Definimos a nova variável
u = e^{t} - 2.
Como du/dt = e^{t}, temos
du = e^{t}\,dt.

Passo 3

Reescrevendo a equação original em termos de u,
\frac{dy}{dt} = e^{t}\,\sin\!\bigl(e^{t}-2\bigr) \quad\Longrightarrow\quad dy = \sin(u)\,du.

Passo 4

Integramos ambos os lados:
\int dy = \int \sin(u)\,du \quad\Longrightarrow\quad y = -\cos(u) + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 5

Voltando a variável u para e^{t}-2, a solução geral fica
y(t) = -\cos\!\bigl(e^{t}-2\bigr) + C.
Usamos a condição inicial y(\ln 2)=0. Como e^{\ln 2}=2, temos u(\ln 2)=2-2=0, logo
0 = -\cos(0) + C = -1 + C \quad\Longrightarrow\quad C = 1.

Resposta

A solução do PVI é
\boxed{y(t) = 1 - \cos\!\bigl(e^{t}-2\bigr)}.

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