Seja f uma função contínua tal que \int_{0}^{6} f(x) d x=5. Determine o valor de \int_{0}^{2} f(3 x) d x.

Passo 1

O enunciado diz que temos uma função contínua f satisfazendo
\int_{0}^{6} f(x)\,dx = 5
e pede o valor de
\int_{0}^{2} f(3x)\,dx.
Para resolver, vamos usar a técnica de mudança de variável (substituição) em integrais.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = 3x,\quad du = 3\,dx \quad\Longrightarrow\quad dx = \frac{du}{3}.
Quando x=0, u=0, e quando x=2, u=6. Assim,
\int_{0}^{2} f(3x)\,dx = \int_{0}^{6} f(u)\,\frac{du}{3} = \frac{1}{3}\,\int_{0}^{6} f(u)\,du

Passo 3

Como \displaystyle \int_{0}^{6} f(u)\,du = 5, segue que
\int_{0}^{2} f(3x)\,dx = \frac{1}{3} \times 5 = \frac{5}{3}.

Resposta

\displaystyle \frac{5}{3}

Exercícios relacionados