Resolva as seguintes recorrências:
x_{n+1}-n x_{n}=(n+1)!, x_{1}=1.

Passo 1

O enunciado pede resolver a recorrência
x_{n+1}-n\,x_n=(n+1)!,\quad x_1=1.
Trata-se de uma equação de primeira ordem com coeficiente variável. Para simplificar, vamos usar a mudança de variável
y_n = \frac{x_n}{(n-1)!}.

Passo 2

Substituindo x_n=(n-1)!\,y_n e x_{n+1}=n!\,y_{n+1} na recorrência, obtemos
n!\,y_{n+1}-n\,( (n-1)!\,y_n )=(n+1)!.
Como n\,(n-1)!=n!, isso vira
n!\bigl(y_{n+1}-y_n\bigr)=(n+1)!.
Isolando a diferença,
y_{n+1}-y_n=\frac{(n+1)!}{n!}=n+1.

Passo 3

Agora temos a recorrência simples
y_{n+1}=y_n+(n+1),
com condição inicial
y_1=\frac{x_1}{0!}=1.
Somando de k=1 até n-1,
y_n=y_1+\sum_{k=1}^{n-1}(k+1) =1+\sum_{j=2}^{n}j =1+\Bigl(\frac{n(n+1)}{2}-1\Bigr) =\frac{n(n+1)}{2}.

Passo 4

Retornando à variável x_n,
x_n=(n-1)!\,y_n =(n-1)!\,\frac{n(n+1)}{2} =\frac{(n+1)!}{2}.

Resposta

x_n=\frac{(n+1)!}{2}.

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