Sheila e Helena disputam uma série de partidas. Cada partida é iniciada por quem venceu a partida anterior. Em cada partida, quem iniciou tem probabilidade 0,6 de ganhá-la e probabilidade 0,4 de perdê-la. Se Helena iniciou a primeira partida, qual é a probabilidade de Sheila ganhar a n-ésima partida?

Passo 1

O enunciado descreve uma sequência de partidas entre Sheila e Helena em que quem venceu abre a próxima partida. Quem abre tem probabilidade p=0{,}6 de ganhar e q=1-p=0{,}4 de perder. Helena abre a partida 1. Queremos a probabilidade de Sheila ganhar a partida n. Vamos modelar isso como uma cadeia de Markov em que o estado é “quem abre” a partida.

Passo 2

Defina para cada n\ge1:
r_n = probabilidade de Sheila abrir a partida n.
s_n = probabilidade de Helena abrir a partida n.
Como exatamente um abre, s_n=1-r_n. Inicialmente, como Helena abre a partida 1, temos
r_1=0,\quad s_1=1.

Passo 3

A probabilidade de Sheila ganhar a partida n é
P_S(n)=r_n\cdot p \;+\;s_n\cdot q =r_n\cdot0{,}6 \;+\;(1-r_n)\cdot0{,}4 =0{,}4+0{,}2\,r_n.
Como quem ganha abre a próxima, a probabilidade de Sheila abrir a partida n+1 é justamente P_S(n). Logo, para n\ge1,
r_{n+1}=0{,}4+0{,}2\,r_n,
com r_1=0.

Passo 4

A recorrência
r_{n+1}=0{,}4+0{,}2\,r_n
é uma equação afim de razão b=0{,}2 e termo constante a=0{,}4. A solução geral, dada r_1=0, é
r_n =\;a\;\frac{1-b^{\,n-1}}{1-b} =\;0{,}4\;\frac{1-0{,}2^{\,n-1}}{1-0{,}2} =\;0{,}5\bigl(1-0{,}2^{\,n-1}\bigr).

Passo 5

Como P_S(n)=r_{n+1}, substituímos n\mapsto n+1 na fórmula de r_n:
P_S(n) =r_{n+1} =0{,}5\bigl(1-0{,}2^n\bigr) =\frac{1-\bigl(\tfrac15\bigr)^{n}}{2}.

Resposta

\boxed{P_S(n)=\frac{1-\bigl(\tfrac15\bigr)^{n}}{2}}.

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