Resolva os seguintes sistemas. Classifique-os.
\left\{\begin{aligned} x_{1}+x_{2}-x_{3} & =0 \\\ x_{2}+x_{3} & =1 \\\\ 4 x_{1}-3 x_{2} & =8\end{aligned}\right.

Passo 1

O enunciado dá o sistema
\begin{cases} x_{1}+x_{2}-x_{3} = 0\\[4pt] x_{2}+x_{3} = 1\\[4pt] 4x_{1}-3x_{2} = 8 \end{cases}
O que nos pedem:
  • Encontrar os valores de x_{1}, x_{2} e x_{3} que satisfazem todas as três equações simultaneamente.
  • Classificar o sistema (isto é, dizer se ele é compatível determinado — única solução; compatível indeterminado — infinitas soluções; ou incompatível — sem solução).
Todas as informações relevantes estão nas três equações acima.]

Passo 2

Escolha do método e ideia geral (explicação didática)
Vou usar o método da substituição porque a segunda equação, x_{2}+x_{3}=1, já é simples e permite isolar uma variável facilmente. O método da substituição consiste em:
  1. Isolar uma variável numa das equações (por exemplo, escrever x_{2} em função de x_{3}).
  2. Substituir essa expressão nas outras equações, reduzindo o número de incógnitas.
  3. Resolver as equações resultantes até obter valores numéricos das incógnitas.
  4. Voltar substituindo para encontrar as demais variáveis e verificar.
É um método prático quando alguma equação já tem forma simples.

Passo 3

Isolar uma variável na equação simples
Da equação x_{2}+x_{3}=1 (segunda equação) isolamos x_{2}:
x_{2} = 1 - x_{3}.
Isto significa que qualquer solução do sistema terá x_{2} dado por essa expressão em função de x_{3}.

Passo 4

Substituir x_{2} na primeira equação e resolver para x_{1} em função de x_{3}
A primeira equação é x_{1}+x_{2}-x_{3}=0. Substituindo x_{2}=1-x_{3} obtemos
x_{1} + (1 - x_{3}) - x_{3} = 0.
Agora simplificamos passo a passo:
x_{1} + 1 - x_{3} - x_{3} = 0,
x_{1} + 1 - 2x_{3} = 0.
Isolando x_{1}:
x_{1} = 2x_{3} - 1.
Agora temos x_{1} e x_{2} expressos em função de x_{3}.

Passo 5

Substituir x_{1} e x_{2} na terceira equação para achar x_{3}
A terceira equação é 4x_{1} - 3x_{2} = 8. Substituímos as expressões encontradas:
4(2x_{3}-1) - 3(1 - x_{3}) = 8.
Desenvolvendo os parênteses passo a passo:
8x_{3} - 4 - 3 + 3x_{3} = 8,
(8x_{3} + 3x_{3}) + (-4 -3) = 8,
11x_{3} - 7 = 8.
Isolando x_{3}:
11x_{3} = 8 + 7 = 15,
x_{3} = \frac{15}{11}.

Passo 6

Encontrar x_{2} e x_{1} por substituição reversa
Usamos as expressões obtidas antes.
Para x_{2}:
x_{2} = 1 - x_{3} = 1 - \frac{15}{11} = \frac{11}{11} - \frac{15}{11} = -\frac{4}{11}.
Para x_{1}:
x_{1} = 2x_{3} - 1 = 2\cdot\frac{15}{11} - 1 = \frac{30}{11} - \frac{11}{11} = \frac{19}{11}.
Portanto a solução candidata é
\left(x_{1},x_{2},x_{3}\right)=\left(\frac{19}{11},-\frac{4}{11},\frac{15}{11}\right).

Passo 7

Verificação e classificação — por que é única solução
Verificamos rápido cada equação com a solução encontrada.
Primeira equação:
x_{1}+x_{2}-x_{3}=\frac{19}{11} - \frac{4}{11} - \frac{15}{11} = \frac{19-4-15}{11} = \frac{0}{11} = 0.
Segunda equação:
x_{2}+x_{3}=-\frac{4}{11}+\frac{15}{11}=\frac{11}{11}=1.
Terceira equação:
4x_{1}-3x_{2}=4\cdot\frac{19}{11}-3\cdot\left(-\frac{4}{11}\right)=\frac{76}{11}+\frac{12}{11}=\frac{88}{11}=8.
As três igualdades conferem, logo a solução está correta.
Como encontramos um único triplo \left(x_{1},x_{2},x_{3}\right) que satisfaz todas as equações, o sistema é compatível determinado (tem exatamente uma solução).
Dica rápida para a prova: sempre que uma das equações permitir isolar uma incógnita de forma simples, a substituição costuma ser a via mais rápida; valide no fim substituindo de volta nas equações originais para não errar sinais ou frações.

Resposta

\left(x_{1},x_{2},x_{3}\right)=\left(\dfrac{19}{11},-\dfrac{4}{11},\dfrac{15}{11}\right)\nSistema compatível determinado (SCD) — única solução.

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