Resolva os seguintes sistemas. Classifique-os.
(\mathrm{m})\left\{\begin{aligned} x+2 y-z & =2 \\\\ 2 x-y+z & =5 \\\ x+3 y+2 z & =9 \\\\ 3 x-y+4 z & =13\end{aligned}\right.

Passo 1

O enunciado fornece o sistema com quatro equações e três incógnitas e pede para resolvê‑lo e classificá‑lo. As equações dadas são:
\begin{cases} x+2y-z=2,\\[4pt] 2x-y+z=5,\\[4pt] x+3y+2z=9,\\[4pt] 3x-y+4z=13. \end{cases}
Informações relevantes fornecidas: as quatro equações acima, as incógnitas são x, y e z. A tarefa é encontrar valores de x, y, z que satisfaçam todas as equações simultaneamente e dizer se o sistema é compatível determinado (uma única solução), compatível indeterminado (infinitas soluções) ou incompatível (sem solução).]

Passo 2

Escolha do método e breve explicação (sem resolver ainda): vou usar eliminação por operações elementares sobre as linhas (a técnica conhecida como eliminação de Gauss). Ideia da técnica: escrevemos as equações como uma matriz ampliada e aplicamos operações do tipo “trocar linhas”, “multiplicar linha por escalar não nulo” e “somar múltiplos de uma linha a outra” para triangularizar a matriz; isso facilita obter as incógnitas por substituição regressiva. Essas operações preservam o conjunto de soluções do sistema. Agora aplico o método passo a passo.

Passo 3

Formo a matriz ampliada do sistema (cada linha corresponde a uma equação, colunas aos coeficientes de x, y, z e a coluna final é o termo independente):
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & -1 & 2\\[4pt] 2 & -1 & 1 & 5\\[4pt] 1 & 3 & 2 & 9\\[4pt] 3 & -1 & 4 & 13 \end{array}\right].]

Passo 4

Primeira etapa de eliminação: zero nas entradas abaixo do pivô da primeira coluna (usar a primeira linha como pivô).
Faço as operações:
R_2 \leftarrow R_2-2R_1,\qquad R_3 \leftarrow R_3-R_1,\qquad R_4 \leftarrow R_4-3R_1.
Calculemos cada uma:
Para R_2: [2,-1,1,5]-2[1,2,-1,2]=[0,-5,3,1].
Para R_3: [1,3,2,9]-[1,2,-1,2]=[0,1,3,7].
Para R_4: [3,-1,4,13]-3[1,2,-1,2]=[0,-7,7,7].
A matriz fica
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & -1 & 2\\[4pt] 0 & -5 & 3 & 1\\[4pt] 0 & 1 & 3 & 7\\[4pt] 0 & -7 & 7 & 7 \end{array}\right].]

Passo 5

Segundo pivô: é conveniente trocar R_2 e R_3 porque R_3 tem coeficiente 1 na coluna y, o que facilita cálculos. Faço R_2 \leftrightarrow R_3. A matriz passa a ser
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & -1 & 2\\[4pt] 0 & 1 & 3 & 7\\[4pt] 0 & -5 & 3 & 1\\[4pt] 0 & -7 & 7 & 7 \end{array}\right].]

Passo 6

Agora elimino as entradas abaixo do pivô na segunda coluna (usar R_2 para zerar as colunas de y em R_3 e R_4):
Faço
R_3 \leftarrow R_3+5R_2,\qquad R_4 \leftarrow R_4+7R_2.
Calculemos:
Para R_3: [0,-5,3,1]+5[0,1,3,7]=[0,0,18,36].
Para R_4: [0,-7,7,7]+7[0,1,3,7]=[0,0,28,56].
A matriz torna-se
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & -1 & 2\\[4pt] 0 & 1 & 3 & 7\\[4pt] 0 & 0 & 18 & 36\\[4pt] 0 & 0 & 28 & 56 \end{array}\right].]

Passo 7

Terceiro pivô: coluna de z. Observamos as linhas R_3 e R_4 com entradas na terceira coluna. Podemos simplificar R_3 dividindo por 18:
R_3 \leftarrow \frac{1}{18}R_3 = [0\;0\;1\;2].
Depois elimino a entrada correspondente em R_4:
R_4 \leftarrow R_4 - 28R_3.
Cálculo: R_4-[0,0,28,56]-28[0,0,1,2]=[0,0,0,0].
A matriz escalonada fica
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & -1 & 2\\[4pt] 0 & 1 & 3 & 7\\[4pt] 0 & 0 & 1 & 2\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right].]

Passo 8

Interpretação dos resultados parciais: temos três linhas não nulas (as três primeiras) e a última linha é a linha nula [0\;0\;0\;0]. Isso significa que as três primeiras equações independentes determinam as três incógnitas; não há contradição (não apareceu algo do tipo [0\;0\;0\;c] com c\neq0). Logo o sistema é consistente. Como o número de variáveis é 3 e o posto (número de linhas não nulas) é 3, o posto é igual ao número de incógnitas; isso indica que existe uma única solução (sistema compatível determinado).

Passo 9

Resolução por substituição regressiva (já que a matriz está triangularizada):
Da terceira linha temos
z=2.
Da segunda linha temos
y+3z=7.
Substituindo z=2 obtemos y+3\cdot 2=7, então
y=7-6=1.
Da primeira linha temos
x+2y-z=2.
Substituindo y=1 e z=2 obtemos x+2\cdot1-2=2, ou seja x=2.

Resposta

(x,y,z)=(2,1,2)
Sistema compatível determinado (única solução)

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