Informações relevantes fornecidas: as quatro equações acima, as incógnitas são x, y e z. A tarefa é encontrar valores de x, y, z que satisfaçam todas as equações simultaneamente e dizer se o sistema é compatível determinado (uma única solução), compatível indeterminado (infinitas soluções) ou incompatível (sem solução).]
Passo 2
Escolha do método e breve explicação (sem resolver ainda): vou usar eliminação por operações elementares sobre as linhas (a técnica conhecida como eliminação de Gauss). Ideia da técnica: escrevemos as equações como uma matriz ampliada e aplicamos operações do tipo “trocar linhas”, “multiplicar linha por escalar não nulo” e “somar múltiplos de uma linha a outra” para triangularizar a matriz; isso facilita obter as incógnitas por substituição regressiva. Essas operações preservam o conjunto de soluções do sistema. Agora aplico o método passo a passo.
Passo 3
Formo a matriz ampliada do sistema (cada linha corresponde a uma equação, colunas aos coeficientes de x, y, z e a coluna final é o termo independente):
Calculemos cada uma:
Para R_2: [2,-1,1,5]-2[1,2,-1,2]=[0,-5,3,1].
Para R_3: [1,3,2,9]-[1,2,-1,2]=[0,1,3,7].
Para R_4: [3,-1,4,13]-3[1,2,-1,2]=[0,-7,7,7].
Segundo pivô: é conveniente trocar R_2 e R_3 porque R_3 tem coeficiente 1 na coluna y, o que facilita cálculos. Faço R_2 \leftrightarrow R_3. A matriz passa a ser
Interpretação dos resultados parciais: temos três linhas não nulas (as três primeiras) e a última linha é a linha nula [0\;0\;0\;0]. Isso significa que as três primeiras equações independentes determinam as três incógnitas; não há contradição (não apareceu algo do tipo [0\;0\;0\;c] com c\neq0). Logo o sistema é consistente. Como o número de variáveis é 3 e o posto (número de linhas não nulas) é 3, o posto é igual ao número de incógnitas; isso indica que existe uma única solução (sistema compatível determinado).
Passo 9
Resolução por substituição regressiva (já que a matriz está triangularizada):
Da terceira linha temos
z=2.
Da segunda linha temos
y+3z=7.
Substituindo z=2 obtemos y+3\cdot 2=7, então
y=7-6=1.
Da primeira linha temos
x+2y-z=2.
Substituindo y=1 e z=2 obtemos x+2\cdot1-2=2, ou seja x=2.
Resposta
(x,y,z)=(2,1,2)
Sistema compatível determinado (única solução)