Resolva os seguintes sistemas de EDO
(a) 
 
(a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema de equações diferenciais ordinárias (EDOs) que o exercício propôs. A gente vai usar o conteúdo de sistemas lineares de EDOs com matrizes, mais especificamente a solução de sistemas lineares utilizando autovalores e autovetores. Para isso, vamos precisar encontrar os autovalores da matriz dada e, em seguida, os autovetores correspondentes. Com essas informações, a gente consegue montar a solução geral do sistema.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar os autovalores da matriz 
 . Para isso, resolvemos a equação característica, que é dada por:
Onde 
  é a matriz identidade e 
  representa os autovalores.
Calculando 
 :
Agora, calculamos o determinante:
Expandindo:
Então:
Resolvend0 
 :
Usando a fórmula de Bhaskara:
Então, os autovalores são:
Passo 3
Agora que temos os autovalores 
  e 
 , vamos encontrar os autovetores correspondentes para cada um.
Para 
 :
Resolvemos 
 :
Isso nos dá o sistema:
Observamos que as duas equações são equivalentes. Então, podemos escolher 
 , o que dá 
 . Portanto, um autovetor associado a 
  é:
Para 
 :
Resolvemos 
 :
Isso nos dá o sistema:
Novamente, as duas equações são equivalentes. Escolhendo 
 , temos 
 . Portanto, um autovetor associado a 
  é:
Passo 4
Com os autovalores e autovetores em mãos, podemos montar a solução geral do sistema de EDOs. A solução é uma combinação linear das soluções associadas a cada autovalor e autovetor:
Substituindo os valores encontrados:
Onde 
  e 
  são constantes que seriam determinadas por condições iniciais, se fornecidas.
Resposta
A solução geral do sistema de EDOs é:
Onde 
  e 
  são constantes determinadas pelas condições iniciais.