Resolva os seguintes sistemas de EDO
(g) 
 
(g)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema de equações diferenciais ordinárias (EDOs) que você enviou. O problema envolve matrizes e soluções de sistemas lineares. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de autovalores e autovetores, que são fundamentais na teoria de sistemas lineares.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a matriz do sistema. A equação dada é:
Aqui, a matriz dos coeficientes é:
Passo 3
Para resolver esse sistema, precisamos encontrar os autovalores da matriz 
 . Os autovalores são valores de 
  que satisfazem a equação característica:
Onde 
  é a matriz identidade de mesma dimensão que 
 .
Passo 4
Vamos calcular a determinante 
 :
Passo 5
Resolvendo a equação característica:
Então, os autovalores são 
  e 
 .
Passo 6
Com os autovalores encontrados, podemos escrever a solução geral do sistema usando exponenciais complexas. A solução geral é dada por:
Onde:
- 
é a parte real dos autovalores.  - 
é a parte imaginária dos autovalores.  - 
é o autovetor correspondente a .  - 
e são constantes que serão determinandas pelas condições iniciais.  
Passo 7
Para simplificar, vamos encontrar um autovetor 
  correspondente a 
 . Resolvendo 
 :
Isso resulta nas equações:
Resolvendo, encontramos que 
 . Podemos escolher 
 , então 
 .
Passo 8
Substituindo os valores encontrados na solução geral, obtemos:
Simplificando, temos as soluções para 
  e 
 :
Resposta
A solução geral do sistema é:
Onde 
  e 
  são constantes determinadas pelas condições iniciais do problema.