Resolva os seguintes sistemas de equações:
\left\{\begin{array}{l}\log _{7}(3 x-2 y)=1 \\\ \log _{5}(2 x-y)=1\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema de equações envolvendo logaritmos:
\begin{cases} \log_7(3x - 2y) = 1,\\\ \log_5(2x - y) = 1. \end{cases}
Precisamos usar a definição de logaritmo para transformar esse sistema em um sistema linear e então resolver para x e y.

Passo 2

Aplicando a definição de logaritmo, cada equação vira uma exponenciação:
3x - 2y = 7^1 = 7,
2x - y = 5^1 = 5.

Passo 3

Agora temos o sistema linear
\begin{cases} 3x - 2y = 7,\\\\ 2x - y = 5. \end{cases}
Multiplicando a segunda equação por 2 obtemos
4x - 2y = 10.
Subtraindo a primeira desta, temos
(4x - 2y) - (3x - 2y) = 10 - 7 \implies x = 3.
Substituindo x = 3 em 2x - y = 5 resulta em
2\cdot3 - y = 5 \implies 6 - y = 5 \implies y = 1.

Passo 4

Verificamos as condições de existência dos logaritmos:
3\cdot3 - 2\cdot1 = 9 - 2 = 7 > 0,
2\cdot3 - 1 = 6 - 1 = 5 > 0.
Como ambas são positivas, a solução (3,1) é válida.

Resposta

(3,1)

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