Resolva os seguintes sistemas de equações lineares:
\left\{\begin{aligned}x_{1}+x_{2}+x_{3} & =25 \\\ 5 x_{1}+3 x_{2}+2 x_{3} & =0 \x_{2}-x_{3} & =6\end{aligned}\right.

Passo 1

O sistema que temos e o que se pede:
\left\{\begin{aligned} x_{1}+x_{2}+x_{3} &= 25\\[4pt] 5x_{1}+3x_{2}+2x_{3} &= 0\\[4pt] x_{2}-x_{3} &= 6 \end{aligned}\right.
O enunciado pede encontrar os valores de x_{1}, x_{2} e x_{3} que satisfazem simultaneamente as três equações.]

Passo 2

Observação útil (escolha do caminho): a terceira equação é já isolada em termos de x_{2} e x_{3}:
x_{2}-x_{3}=6.
Isto é ótimo porque permite expressar uma variável em função da outra de forma direta. Vamos isolar x_{2}:
x_{2}=x_{3}+6.
Explicando o método: aqui estou usando o método de substituição — escolher uma equação simples, escrever uma variável em função de outra e substituir nas outras equações para reduzir o número de incógnitas. É um método direto e seguro para sistemas pequenos como este.

Passo 3

Substituir x_{2}=x_{3}+6 na primeira equação para expressar x_{1} em função de x_{3}. A primeira equação é
x_{1}+x_{2}+x_{3}=25.
Fazendo a substituição:
x_{1}+(x_{3}+6)+x_{3}=25.
Agrupando termos parecidos:
x_{1}+2x_{3}+6=25.
Isolando x_{1}:
x_{1}=25-6-2x_{3}.
Portanto
x_{1}=19-2x_{3}.
Aqui ficou claro: agora temos x_{1} e x_{2} escritos em função de x_{3}:
x_{2}=x_{3}+6,\qquad x_{1}=19-2x_{3}.

Passo 4

Substituir essas expressões na segunda equação para obter uma equação só em x_{3}. A segunda equação é
5x_{1}+3x_{2}+2x_{3}=0.
Substituindo x_{1}=19-2x_{3} e x_{2}=x_{3}+6:
5(19-2x_{3})+3(x_{3}+6)+2x_{3}=0.
Agora vamos expandir e simplificar passo a passo. Primeiro expandindo os produtos:
95-10x_{3}+3x_{3}+18+2x_{3}=0.
Agora somando as constantes e os coeficientes de x_{3} separadamente. As constantes: 95+18=113. Os coeficientes de x_{3}: -10+3+2=-5. Logo:
113-5x_{3}=0.
Isolando x_{3}:
-5x_{3}=-113 \quad\Rightarrow\quad x_{3}=\frac{113}{5}.

Passo 5

Com x_{3}=\dfrac{113}{5}, voltamos às expressões para x_{2} e x_{1}.
Calcular x_{2}:
x_{2}=x_{3}+6=\frac{113}{5}+6=\frac{113}{5}+\frac{30}{5}=\frac{143}{5}.
Calcular x_{1}:
x_{1}=19-2x_{3}=19-2\cdot\frac{113}{5}= \frac{95}{5}-\frac{226}{5}=-\frac{131}{5}.
Portanto os valores encontrados são
x_{1}=-\frac{131}{5},\qquad x_{2}=\frac{143}{5},\qquad x_{3}=\frac{113}{5}.

Passo 6

Verificação rápida (sempre bom fazer na prova): vamos checar as três equações substituindo os valores.
  1. Primeira equação x_{1}+x_{2}+x_{3}=25:
-\frac{131}{5}+\frac{143}{5}+\frac{113}{5}=\frac{-131+143+113}{5}=\frac{125}{5}=25.
OK.
  1. Segunda equação 5x_{1}+3x_{2}+2x_{3}=0:
5\left(-\frac{131}{5}\right)+3\left(\frac{143}{5}\right)+2\left(\frac{113}{5}\right)=-131+\frac{429}{5}+\frac{226}{5}.
Colocando tudo sobre 5:
-\frac{655}{5}+\frac{429}{5}+\frac{226}{5}=\frac{-655+429+226}{5}=\frac{0}{5}=0.
OK.
  1. Terceira equação x_{2}-x_{3}=6:
\frac{143}{5}-\frac{113}{5}=\frac{30}{5}=6.
OK.
Todas conferem, resposta correta.

Resposta

x_{1}=-\dfrac{131}{5}
x_{2}=\dfrac{143}{5}
x_{3}=\dfrac{113}{5}

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