Resolva os seguintes sistemas de equações lineares:
\left\{\begin{aligned}x_{1}+x_{2}+x_{3} & =6 \\\ 2 x_{1}-x_{2}+x_{3} & =3 \x_{1}-x_{2}-x_{3} & =-3\end{aligned}\right.

Passo 1

O enunciado fornece o sistema de três equações lineares com três incógnitas e pede a solução (x_{1},x_{2},x_{3}):
\begin{cases} x_{1}+x_{2}+x_{3}=6,\\[4pt] 2x_{1}-x_{2}+x_{3}=3,\\[4pt] x_{1}-x_{2}-x_{3}=-3. \end{cases}]

Passo 2

Vamos trabalhar com as equações dadas e eliminar incógnitas passo a passo, transformando o sistema em um sistema triangular (onde a primeira equação contém x_{1}, a segunda apenas x_{2} e x_{3} e a terceira idem). A ideia é combinar as equações por operações lineares (somar/subtrair múltiplos de uma equação de outra) para zerar uma incógnita em algumas equações, tornando o sistema mais simples de resolver. Isso é a essência do método de eliminação: passar de um sistema complicado para um onde as variáveis aparecem de forma escalonada.

Passo 3

Escrevo novamente as equações para realizar operações entre elas:
\begin{aligned} \text{(1)}\\ & x_{1}+x_{2}+x_{3}=6,\\[4pt] \text{(2)}\\ & 2x_{1}-x_{2}+x_{3}=3,\\[4pt] \text{(3)}\\ & x_{1}-x_{2}-x_{3}=-3. \end{aligned}
Vou eliminar x_{1} das equações (2) e (3) usando a equação (1).]

Passo 4

Eliminar x_{1} de (2): faço \text{(2)} - 2\cdot\text{(1)}.
Calculo termo a termo:
\begin{aligned} 2x_{1}-2\cdot x_{1} &= 0,\\[4pt] - x_{2}-2\cdot x_{2} &= -3x_{2},\\[4pt] x_{3}-2\cdot x_{3} &= -x_{3},\\[4pt] 3-2\cdot 6 &= -9. \end{aligned}
Logo a nova equação (2’) é
-3x_{2}-x_{3}=-9.]

Passo 5

Eliminar x_{1} de (3): faço \text{(3)} - \text{(1)}.
Calculo termo a termo:
\begin{aligned} x_{1}-x_{1} &= 0,\\[4pt] - x_{2}-x_{2} &= -2x_{2},\\[4pt] - x_{3}-x_{3} &= -2x_{3},\\[4pt] -3-6 &= -9. \end{aligned}
Logo a nova equação (3’) é
-2x_{2}-2x_{3}=-9.
Agora o sistema equivalente é
\begin{aligned} \text{(1)}&\\ x_{1}+x_{2}+x_{3}=6,\\[4pt] \text{(2')}&\\\ -3x_{2}-x_{3}=-9,\\[4pt] \text{(3')}&\\\ -2x_{2}-2x_{3}=-9. \end{aligned}]

Passo 6

Simplifico as equações (2’) e (3’) multiplicando por -1 para ficar com coeficientes positivos:
\begin{aligned} \text{(2'')}&\\\ 3x_{2}+x_{3}=9,\\[4pt] \text{(3'')}&\\\ 2x_{2}+2x_{3}=9. \end{aligned}
Agora temos um sistema de duas equações em x_{2} e x_{3}.]

Passo 7

Escolho eliminar x_{3}. Da equação \text{(2'')} isolo x_{3}:
x_{3}=9-3x_{2}.
Explico a ideia: isolar significa escrever uma variável em função da outra para poder substituir.

Passo 8

Substituo x_{3}=9-3x_{2} em \text{(3'')}:
2x_{2}+2(9-3x_{2})=9.
Agora desenvolvo os parênteses e resolvo para x_{2}:
2x_{2}+18-6x_{2}=9.
Agrupo os termos em x_{2}:
-4x_{2}+18=9.
Isolo x_{2}:
-4x_{2}=9-18=-9,
x_{2}=\frac{-9}{-4}=\frac{9}{4}.
Portanto \;x_{2}=\dfrac{9}{4}.

Passo 9

Com x_{2}=\dfrac{9}{4}, volto à expressão que isolou x_{3}: x_{3}=9-3x_{2}.
x_{3}=9-3\cdot\frac{9}{4}=9-\frac{27}{4}=\frac{36}{4}-\frac{27}{4}=\frac{9}{4}.
Portanto \;x_{3}=\dfrac{9}{4}.

Passo 10

Agora encontro x_{1} usando a equação (1): x_{1}=6-x_{2}-x_{3}.
Substituo os valores obtidos:
x_{1}=6-\frac{9}{4}-\frac{9}{4}=6-\frac{18}{4}=6-\frac{9}{2}.
Escrevo 6 como \dfrac{12}{2} para subtrair:
x_{1}=\frac{12}{2}-\frac{9}{2}=\frac{3}{2}.
Então \;x_{1}=\dfrac{3}{2}.

Passo 11

Fazemos uma checagem rápida (substituir na equação (2) ou (3) para confirmar). Por exemplo, na (2):
2x_{1}-x_{2}+x_{3}=2\cdot\frac{3}{2}-\frac{9}{4}+\frac{9}{4}=3+0=3,
que coincide com o lado direito. Na (3):
x_{1}-x_{2}-x_{3}=\frac{3}{2}-\frac{9}{4}-\frac{9}{4}=\frac{3}{2}-\frac{18}{4}=\frac{3}{2}-\frac{9}{2}=-3,
também coincide. Tudo certo!

Resposta

\displaystyle x_{1}=\frac{3}{2}
\displaystyle x_{2}=\frac{9}{4}
\displaystyle x_{3}=\frac{9}{4}

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