( 1,5 total e 0,75 cada ítem - pontos) Um voltímetro real possui uma resistência interna finita R_{V}= 10 \mathrm{k} \Omega. Ele é conectado aos terminais de uma fonte de tensão isolada contendo fem \mathcal{E}=20 \mathrm{~V} e resistênciə interna alta r=2 \mathrm{k} \Omega.
(a) Qual será a leitura apresentada no voltímetro?
(b) Mostre que o voltímetro só apresentará a leitura exata de 20 V no limite em que R_{V} \rightarrow \infty.

Passo 1

O enunciado dá e pede o seguinte:
  • Dados fornecidos:
    • fem da fonte: \mathcal{E}=20\\ \text{V}.
    • resistência interna da fonte: r=2\\ \text{k}\Omega.
    • resistência interna do voltímetro: R_{V}=10\\ \text{k}\Omega.
  • Perguntas:
    (a) Qual será a leitura apresentada no voltímetro?
    (b) Mostrar que o voltímetro só apresentará a leitura exata de 20\\ \text{V} no limite R_{V}\to\infty.

Passo 2

Modelo elétrico e ideia básica (sem resolver ainda).
  • A fonte real pode ser modelada por uma fem ideal \mathcal{E} em série com a resistência interna r.
  • O voltímetro, de resistência interna finita R_{V}, é ligado aos terminais da fonte: assim r e R_{V} ficam em série com a fem. Ou seja, a corrente que sai da fonte passa por r e depois por R_{V}.
  • O voltímetro mede a tensão nos seus terminais, isto é, a tensão sobre R_{V}. Então precisamos calcular a tensão sobre R_{V} quando a corrente circula.
Explicação dos conceitos usados:
  • Lei de Ohm: para uma resistência R com corrente I, a tensão sobre ela é V=I\cdot R. Aqui cada símbolo significa:
    • V: tensão (volts),
    • I: corrente (ampères),
    • R: resistência (ohms).
  • Regra para resistores em série: a corrente é a mesma em todos os resistores da série e a tensão total é a soma das tensões parciais. A corrente total é dada por I=\dfrac{\mathcal{E}}{R_{\text{eq}}}, onde R_{\text{eq}} é a soma das resistências em série.

Passo 3

Calcular a corrente do circuito.
  • Como r e R_{V} estão em série, a resistência equivalente vista pela fem é r+R_{V}.
  • Pela Lei de Ohm aplicada à fonte ideal + resistências em série:
I=\dfrac{\mathcal{E}}{r+R_{V}}.
  • Aqui I é a corrente que percorre tanto r quanto R_{V}.

Passo 4

Expressão da tensão medida pelo voltímetro (tensão sobre R_{V}).
  • A tensão sobre o voltímetro é, pela Lei de Ohm aplicada a R_{V}:
V_{\text{med}}=I\cdot R_{V}.
  • Substituindo I da etapa anterior:
V_{\text{med}}=\dfrac{\mathcal{E}}{r+R_{V}}\cdot R_{V}=\mathcal{E}\cdot\dfrac{R_{V}}{r+R_{V}}.
  • Esta é a fórmula do divisor de tensão: a tensão numa das resistências em série é a fração da fem proporcional àquela resistência sobre a soma.

Passo 5

Cálculo numérico para o item (a) com os valores dados.
  • Substituindo \mathcal{E}=20\\ \text{V}, r=2\\ \text{k}\Omega e R_{V}=10\\ \text{k}\Omega na fórmula:
V_{\text{med}}=20\cdot\dfrac{10}{2+10}\quad\text{(as resistências em k}\Omega\text{ cancelam na razão)}.êã
  • Calcule a fração:
\dfrac{10}{2+10}=\dfrac{10}{12}=\dfrac{5}{6}.
  • Portanto
V_{\text{med}}=20\cdot\dfrac{5}{6}=\dfrac{100}{6}=\dfrac{50}{3}\\ \text{V}\approx16,67\\ \text{V}.

Passo 6

Item (b): mostrar que apenas no limite R_{V}\to\infty a leitura é \mathcal{E}=20\\ \text{V}.
  • Partindo da expressão geral obtida:
V_{\text{med}}=\mathcal{E}\cdot\dfrac{R_{V}}{r+R_{V}}.
  • Tome o limite quando R_{V}\to\infty:
\lim_{R_{V}\to\infty}V_{\text{med}}=\lim_{R_{V}\to\infty}\mathcal{E}\cdot\dfrac{R_{V}}{r+R_{V}}.
  • Dividindo numerador e denominador por R_{V}:
\lim_{R_{V}\to\infty}\mathcal{E}\cdot\dfrac{1}{\dfrac{r}{R_{V}}+1}=\mathcal{E}\cdot\dfrac{1}{0+1}=\mathcal{E}.
  • Intuição física: quando R_{V} tende a infinito (um voltímetro ideal), a corrente que o voltímetro “puxa” tende a zero, logo não há queda de tensão em r e a tensão nos terminais fica igual à fem \mathcal{E}.

Passo 7

Resumo e observação prática (dica para prova).
  • Fórmula útil que vale sempre que um voltímetro de resistência R_{V} estiver ligado a uma fonte com resistência interna r:
V_{\text{med}}=\mathcal{E}\cdot\dfrac{R_{V}}{r+R_{V}}.
  • Para avaliar rapidamente sem calculadora, reduza a fração antes de multiplicar, como fizemos aqui ( 10/(2+10)=5/6).
  • Em provas, se pedirem mostrar o limite, use a divisão por R_{V} no numerador e denominador ou a observação física da corrente tendendo a zero.

Resposta

V_{\text{med}}=\dfrac{50}{3}\\ \text{V}\approx16,67\\ \text{V}
\displaystyle \lim_{R_{V}\to\infty}V_{\text{med}}=\lim_{R_{V}\to\infty}\mathcal{E}\dfrac{R_{V}}{r+R_{V}}=\mathcal{E}=20\\ \text{V}

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