Resolva os seguintes sistemas por escalonamento. Determine o posto da matriz de coeficientes e o posto da matriz ampliada.
\left\{\begin{array}{rlrl}3 x-y & & =1 \\\ & 2 y-5 z & =-11 \\\ x+y+z+t & =-1 \\\ x+y & =10\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema
\begin{cases} 3x - y = 1,\\\\ 2y - 5z = -11,\\\ x + y + z + t= -1,\\\ x + y = 10 \end{cases}
usando escalonamento. Vamos aplicar eliminação de Gauss na matriz aumentada e depois fazer a substituição regressiva. Também vamos determinar o posto da matriz de coeficientes A e o posto da matriz ampliada (A\mid b).

Passo 2

Escrevemos a matriz aumentada na ordem (x,y,z,t):
\left(\begin{array}{cccc|c} 3 & -1 & 0 & 0 & 1\\\\ 0 & 2 & -5 & 0 & -11\\\\ 1 & 1 & 1 & 1 & -1\\\\ 1 & 1 & 0 & 0 & 10 \end{array}\right)

Passo 3

Eliminamos x das linhas 3 e 4 usando combinações com a linha 1:
R3 ← 3\cdotR3 − R1 e R4 ← 3\cdotR4 − R1. Obtém-se
\left(\begin{array}{cccc|c} 3 & -1 & 0 & 0 & 1\\\\ 0 & 2 & -5 & 0 & -11\\\\ 0 & 4 & 3 & 3 & -4\\\\ 0 & 4 & 0 & 0 & 29 \end{array}\right)

Passo 4

Agora usamos o pivô da linha 2 2 em y para zerar y em R3 e R4:
R3 ← R3 − 2\cdotR2, R4 ← R4 − 2\cdotR2. Ficamos com
\left(\begin{array}{cccc|c} 3 & -1 & 0 & 0 & 1\\\\ 0 & 2 & -5 & 0 & -11\\\\ 0 & 0 & 13 & 3 & 18\\\\ 0 & 0 & 10 & 0 & 51 \end{array}\right)

Passo 5

Com o pivô 13 em z (linha 3) eliminamos z em R4:
R4 ← 13\cdotR4 − 10\cdotR3. A nova linha 4 é (0,0,0,-30\mid 483). A matriz escalonada final é
\left(\begin{array}{cccc|c} 3 & -1 & 0 & 0 & 1\\\\ 0 & 2 & -5 & 0 & -11\\\\ 0 & 0 & 13 & 3 & 18\\\\ 0 & 0 & 0 & -30 & 483 \end{array}\right)

Passo 6

Fazemos substituição regressiva:
Da linha 4: -30\,t = 483 t = -\tfrac{483}{30} = -\tfrac{161}{10}.
Da linha 3: 13\,z + 3\,t = 18
z = \frac{18 - 3t}{13} = \frac{18 - 3\bigl(-\tfrac{161}{10}\bigr)}{13} = \frac{663/10}{13} = \frac{51}{10}.
Da linha 2: 2\,y - 5\,z = -11
y = \frac{-11 + 5z}{2} = \frac{-11 + 5\cdot \tfrac{51}{10}}{2} = \frac{29}{4}.
Da linha 1: 3\,x - y = 1
x = \frac{1 + y}{3} = \frac{1 + \tfrac{29}{4}}{3} = \frac{11}{4}.

Passo 7

Contamos pivôs não nulos em cada matriz escalonada:
  • A matriz de coeficientes A tem 4 pivôs (colunas x,y,z,t), logo \mathrm{posto}(A)=4.
  • A matriz ampliada (A\mid b) também tem 4 pivôs, logo \mathrm{posto}(A\mid b)=4.

Resposta

x = \tfrac{11}{4} y = \tfrac{29}{4} z = \tfrac{51}{10} t = -\tfrac{161}{10} \mathrm{posto}(A) = 4 \mathrm{posto}(A\mid b) = 4

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