Verificar quais das matrizes são inversíveis e determinar as respectivas inversas.
\left[\begin{array}{llll}1 & 0 & 0 & 0 \\\\ 2 & 1 & 0 & 0 \\\\ 3 & 2 & 1 & 0 \\\\ 4 & 3 & 2 & 1\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a matriz
A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\\\ 2 & 1 & 0 & 0\\\\ 3 & 2 & 1 & 0\\\\ 4 & 3 & 2 & 1 \end{pmatrix}
é inversível e, em caso afirmativo, determinar A^{-1}.
Conteúdo principal: propriedade de matrizes triangulares (determinante) e cálculo de inversa resolvendo A X = I.

Passo 2

Como A é triangular inferior, seu determinante é o produto das entradas da diagonal:
\det(A) = 1\cdot1\cdot1\cdot1 = 1 \neq 0.
Logo, A é inversível.

Passo 3

Para achar A^{-1}, chamamos X = (X_{ij}) e impomos
A\,X = I \quad\Longrightarrow\quad \sum_{k=1}^{4} A_{ik}\,X_{kj} = \delta_{ij},
onde \delta_{ij} é o delta de Kronecker.
Como A e X são triangulares inferiores, temos
  1. Para i=j:
A_{ii}\,X_{ii}=1 \quad\Longrightarrow\quad X_{ii}=\frac1{A_{ii}}=1.
  1. Para i>j:
\sum_{k=1}^{i}A_{ik}X_{kj} =A_{ii}X_{ij}+\sum_{k=1}^{i-1}A_{ik}X_{kj}=0 \quad\Longrightarrow\quad X_{ij}=-\sum_{k=1}^{i-1}A_{ik}X_{kj},
já que A_{ii}=1.

Passo 4

Usando a fórmula X_{ij}=-\sum_{k=1}^{i-1}A_{ik}X_{kj}, calculamos os elementos abaixo da diagonal:
  • X_{21} = -A_{21}X_{11} = -2\cdot1 = -2.
  • X_{31} = -\bigl(A_{31}X_{11}+A_{32}X_{21}\bigr) = -\bigl(3\cdot1 +2\cdot(-2)\bigr) = -\bigl(3-4\bigr)=1.
  • X_{32} = -A_{32}X_{22} = -2\cdot1 = -2.
  • X_{41} = -\bigl(A_{41}X_{11}+A_{42}X_{21}+A_{43}X_{31}\bigr) = -\bigl(4\cdot1 +3\cdot(-2)+2\cdot1\bigr) = -\bigl(4-6+2\bigr)=0.
  • X_{42} = -\bigl(A_{42}X_{22}+A_{43}X_{32}\bigr) = -\bigl(3\cdot1 +2\cdot(-2)\bigr) = -\bigl(3-4\bigr)=1.
  • X_{43} = -A_{43}X_{33} = -2\cdot1 = -2. Os demais X_{ij} com j>i são zero.

Passo 5

Reunindo tudo, a inversa de A é
A^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\\\ -2& 1 & 0 & 0\\\\ 1 & -2 & 1 & 0\\\\ 0 & 1 & -2 & 1 \end{pmatrix}.

Resposta

A matriz A é inversível e
A^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\\\ -2& 1 & 0 & 0\\\\ 1 & -2 & 1 & 0\\\\ 0 & 1 & -2 & 1 \end{pmatrix}.

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