Resolva os seguintes sistemas homogéneos:
\left(\begin{array}{ccc}1 & 3 & -1 \\\\ 2 & -1 & -1 \\\\ 1 & 4 & 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}x \\\ y \\\ z\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}0 \\\\ 0 \\\\ 0\end{array}\right)

Passo 1

O enunciado pede para encontrar todas as soluções do sistema homogêneo
\begin{pmatrix} 1 & 3 & -1\\\\ 2 & -1 & -1\\\\ 1 & 4 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix}.
O conteúdo é Álgebra Linear, mais especificamente obtenção do núcleo de uma matriz via eliminação de Gauss.

Passo 2

Montamos a matriz aumentada
\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 3 & -1 & 0\\\\ 2 & -1 & -1 & 0\\\\ 1 & 4 & 1 & 0 \end{array}\right).
Aplicando as operações R_2\leftarrow R_2 - 2R_1 e R_3\leftarrow R_3 - R_1, obtemos
\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 3 & -1 & 0\\\\ 0 & -7 & 1 & 0\\\\ 0 & 1 & 2 & 0 \end{array}\right).

Passo 3

Trocamos R_2 e R_3:
\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 3 & -1 & 0\\\\ 0 & 1 & 2 & 0\\\\ 0 & -7 & 1 & 0 \end{array}\right).
Em seguida fazemos R_3\leftarrow R_3 + 7R_2, resultando em
\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 3 & -1 & 0\\\\ 0 & 1 & 2 & 0\\\\ 0 & 0 & 15 & 0 \end{array}\right).

Passo 4

As linhas agora correspondem ao sistema
\begin{cases} x + 3y - z = 0,\\\ y + 2z = 0,\\\\ 15\,z = 0. \end{cases}
Da terceira equação segue \,z=0. Substituindo na segunda dá y=0, e na primeira x=0.

Resposta

(x,y,z) = (0,0,0).

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