Resolva os seguintes sistemas homogéneos:
\left\{\begin{array}{c}3 x+y-z=0 \\\ x+y+z=0 \\\\ 2 x+3 y-z=0\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema homogêneo
\begin{cases} 3x + y - z = 0,\\\ x + y + z = 0,\\\\ 2x + 3y - z = 0.
O conteúdo principal aqui é que, para um sistema homogêneo A\mathbf{x}=0 de ordem 3, se \det(A)\neq0 então a única solução é a trivial \mathbf{x}=\mathbf{0}.

Passo 2

Formamos a matriz de coeficientes
A = \begin{pmatrix} 3 & 1 & -1\\\\ 1 & 1 & 1\\\\ 2 & 3 & -1 \end{pmatrix}
e calculamos seu determinante usando desenvolvimento pela primeira linha:
\det(A) =3\bigl(1\cdot(-1)-1\cdot3\bigr) -1\bigl(1\cdot(-1)-1\cdot2\bigr) +(-1)\bigl(1\cdot3-1\cdot2\bigr).

Passo 3

avaliando os menores:
3\bigl(-1-3\bigr)-1\bigl(-1-2\bigr)-1\bigl(3-2\bigr) =3(-4)-1(-3)-1(1) =-12+3-1 =-10.
Portanto \det(A)=-10\neq0.

Passo 4

Como \det(A)\neq0, a matriz A é invertível, e o sistema homogêneo só admite a solução trivial \mathbf{x}=\mathbf{0}.

Resposta

A única solução é (x,y,z)=(0,0,0).

Exercícios relacionados